【公式】半径为R球体的表面积为：2=4SRπ【证明】如上图，将半径为R球体的球心与三维坐标系的原点重合。由球体的对称性可知，只要求出其在第一卦限的表面积，再乘以8即可。设E为球体上的一点，如左图所示，由勾股定理可得：222mxy=+=+=+=+于是：2222222222zRmzRxyzRxy=−=−=−=−=−−=−−=−−=−−=−−=−−=−−=−−（在此z为第一卦限，取正值）于是上式便为球体的对应函数。下面来求222(,)zfxyRxy==−−的偏导数：()'222222'xzxfRxyxRxy∂==−−=−∂−−()'222222'yzyfRxyyRxy∂==−−=−∂−−在这里需要知道一个定理：可以证明可以证明可以证明可以证明，，，，曲面曲面曲面曲面∑的面积的面积的面积的面积'2'2=1()()xyDSffdσ++∫∫，，，，其中其中其中其中DDDD是该曲面的投影面积是该曲面的投影面积是该曲面的投影面积是该曲面的投影面积那么，第一卦限的球体，其投影D如下图所示：曲线LQ的函数如下：22yRx=−D可以看作是如下范围组成：2200xRyRx≤≤≤≤−于是，第一卦限球面Σ的面积为：22'2'2'2'200=1()()1()()RxRxyxyDSffdffdxdyσ−++=++∫∫∫∫又因为'222xxfRxy=−=−=−=−−−−−−−−−'222yyfRxy=−=−=−=−−−−−−−−−故2222222222220022200=1()()=RxRRxRxySdxdyRxyRxyRdxdyRxy−−+−+−−−−−−−∫∫∫∫下面首先来解积分：222220RxRdyRxy−−−∫令22tRx=−=−=−=−，则222tRx=−=−=−=−，于是：2222222220001=RxttRRdydyRdyRxytyty−=⋅−−−−∫∫∫根据不定积分公式根据不定积分公式根据不定积分公式根据不定积分公式：：：：221arcsinxdxCaax=+−∫，则：22001arcsinarcsinarcsin1ttxtRdyRCRRttty⋅=⋅+=⋅=⋅−∫于是：[]2220222000=Rarcsin1arcsin1arcsin1RxRRRRdxdydxRxCRRxy−⋅⋅=⋅⋅+=⋅−−∫∫∫又因为arcsin12π=，，，，于是上式整理可得：22arcsin12RRπ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅所以：S=2222200RxRRdxdyRxy−−−∫∫=22Rπ⋅⋅⋅⋅而这只是第一卦限表面积，因此总面积为：228842allSSRRππ==×⋅=⋅==×⋅=⋅==×⋅=⋅==×⋅=⋅
