18.2.3正方形的性质与判定一、教学目标知识与技能了解正方形的概念、理解并掌握正方形的性质、判定方法过程与方法经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法情感、态度与价值观培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值。二、教学重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．三、教学难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．四、教学设计（一）合作探究、导入新课1.同学们观察图片后，有什么联想？正方形的四条边有什么关系？四个角呢？2.正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3.正方形具有哪些性质呢？4.做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）5．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．归纳总结如下：正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形正方形的性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等（2）角的性质：四个角都是直角（3）对角线的性质：两条对角线互相平分且相等（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴（二）实践应用、探究新知例1（补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO≌△DFO．∴OE=OF．例2（补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴PN∥QM，∠PNM=90°．∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．∴∠1+∠2=90°．又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∴△ABM≌△DAN．∴AM=DN．同理AN=DP．∴AM+AN=DN+DP即MN=PN．∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．（三）继续探究、学习新知师：怎么样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明。例1求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．教师总结：判定方法：1.是矩形，并且有一组邻边相等2.是菱形，并且有一个角是直角（四）随堂练习、巩固深化1．正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）④四条边都相等的四边形是正方形；（）⑤四个角相等的四边形是正方形．（）五、课堂总结、发挥潜能正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和图框表示出来.六、布置作业、专题突破习题18.2第12、13、15、17题
