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数字黑洞6174任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作，7步以内必然会得到6174。例如，选择四位数6767：7766-6677=10899810-0189=96219621-1269=83528532-2358=61747641-1467=6174……6174这个“黑洞”就叫做Kaprekar常数。对于三位数，也有一个数字黑洞——495。3x+1问题从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以2；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的3倍后再加1。你会发现，序列最终总会变成4,2,1,4,2,1,…的循环。例如，所选的数是67，根据上面的规则可以依次得到：67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421陷阱”。但是，是否对于所有的数，序列最终总会变成4,2,1循环呢？这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从3x+1问题的各种别名看出来：3x+1问题又叫Collatz猜想、Syracuse问题、Kakutani问题、Hasse算法、Ulam问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做3x+1问题算了。直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数都成立。特殊两位数乘法的速算如果两个两位数的十位相同，个位数相加为10，那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作AB和AC，那么它们的乘积的前两位就是A和A+1的乘积，后两位就是B和C的乘积。比如，47和43的十位数相同，个位数之和为10，因而它们乘积的前两位就是4×(4+1)=20，后两位就是7×3=21。也就是说，47×43=2021。类似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。这个速算方法背后的原因是，(10x+y)(10x+(10-y))=100x(x+1)+y(10-y)对任意x和y都成立。幻方中的幻“方”一个“三阶幻方”是指把数字1到9填入3×3的方格，使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同。下图就是一个三阶幻方，每条直线上的三个数之和都等于15。大家或许都听说过幻方这玩意儿，但不知道幻方中的一些美妙的性质。例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方，就有8162+3572+4922=6182+7532+2942利用线性代数，我们可以证明这个结论。天然形成的幻方从1/19到18/19这18个分数的小数循环节长度都是18。把这18个循环节排成一个18×18的数字阵，恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是81（注：严格意义上说它不算幻方，因为方阵中有相同数字）。196算法一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是67，两步就可以得到一个回文数484：67+76=143143+341=484把69变成一个回文数则需要四步：69+96=165165+561=726726+627=13531353+3531=488489的“回文数之路”则特别长，要到第24步才会得到第一个回文数，8813200023188。大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了3亿多位数，都没有产生过一次回文数。从196出发，究竟能否加出回文数来？196究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。Farey序列选取一个正整数n。把所有分母不超过n的最简分数找出来，从小到大排序。这个分数序列就叫做Farey序列。例如，下面展示的就是n=7时的Farey序列定理：在Farey序列中，对于任意两个相邻分数，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，则这两个乘积一定正好相差1！这个定理有从数论到图论的各种证明。甚至有一种证明方法巧妙地借助Pick定理，把它转换为了一个不证自明的几何问题！唯一的解经典数字谜...