11．5导数的综合应用一、明确复习目标了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数分析函数的单调性，进而求解函数不等式的问题；二．建构知识网络1．函数的单调性与导数的关系，求单调区间的方法（见上一节）；2．利用导数解不等式问题：（高考中的一类新题型）（1）利用导数确定函数的单调性，（2）利用单调性研究不等式。三、双基题目练练手1．已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是A．0B．1C．2D．32．函数f（x）=sin（3x－）在点（,）处的切线方程是（）A．3x+2y+－=0,B．3x－2y+－=0C．3x－2y－－=0,D．3x+2y－－=03．(2006湖北)若的大小关系（）A．B．C．D．与x的取值有关4．（2006江西）对于上可导的任意函数f(x),若满足(x－1)f′(x)≥0,则必有（）A．f(0)+f(2)<2f(1)B．f(0)+f(2)≤2f(1)C．f(0)+f(2)≥2f(1)D．f(0)+f(2)>2f(1)5．若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．6．方程x3－3x+c=0在［0，1］上至多有_______个实数根．简答:1－4．DBDC；5．y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0．答案：b>06．设f（x）=x3－3x+c，则（x）=3x2－3=3（x2－1）．当x∈（0，1）时，（x）<0恒成立．∴f（x）在（0，1）上单调递减．∴f（x）的图象与x轴最多有一个交点．因此方程x3－3x+c=0在［0，1）上至多有一实根．四、经典例题做一做【例1】证明：当x>0时，有证明：设f(x)=x-sinx,于是f(0)=0． f/(x)=1-cosx(仅在x=2kπ(k∈Z)处f/(x)=0∴当x>0时，f(x)单调递增，从而有f(x)>f(0)即x-sinx>0,x>sinx(x>0)为证不等式，设g(x)=sinx-x+,则g(0)=0,于是g/(x)>0,∴g(x)在x>0时递增，从而有g(x)>g(0)=0即故当x>0时有提炼方法：证不等式的依据I：（1）若函数f(x)在x>a可导，且递增，则f(x)>f(a);（2）若函数f(x)在x>a可导，且递减，则f(x)《f(a);关键在于构造恰当的函数，一般是左-右，右-左，左÷右等。【例2】已知求证：函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。证明：设F(x)=(2-x)ex-1,(x<2) F/(x)=(1-x)ex-1,当x<1时，F/（x）>0,当1
0，讨论y=f(x)的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范围解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞)。对f(x)求导数得f'(x)=e－ax(ⅰ)当a=2时,f'(x)=e－2x,f'(x)在(－∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数；(ⅱ)当00,f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数；(ⅲ)当a>2时,0<<1,令f'(x)=0,解得x1=－,x2=当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表：x(-∞,-)(-,)(,1)(1,+∞)f'(x)＋－＋＋f(x)↗↘↗↗f(x)在(－∞,－),(,1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(－,)为减函数。(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1(ⅱ)当a>2时,取x0=∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x0)1且e－ax≥1,得f(x)=e－ax≥>1新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。【例4】(2006全国Ⅰ)在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值。解:椭圆方程可写为:+=1式中a>b>0,且得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:x2+=...
