不可小觑的向量加减法田玉芳一、用已知向量表示其他向量例1如下图，以向量为边作平行四边形OADB，C为对角线的交点，，试用a，b表示。解：∵由，得所以评注：本例中应用了向量的加减法运算，要注意M、N将AB和OD所分成的比例，以达到用a、b来表示的目的。二、证明向量等式例2如下图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，P为平面上任意一点，用向量证明。分析：根据几何图形，可将利用向量加法的三角形法则转化到向量上，用这些向量将表示出来。证明：，在平行四边形ABCD中，上面四式相加化简得评注：向量的三角形法则还可以推广到多个向量的求和，即多个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，也叫向量求和的多边形法则。三、求模的取值范围例3已知，求的取值范围。解：令A点与C点重合，由向量减法的几何意义知由，所以故的取值范围是［3，15］。评注：对于非零向量a、b，均有不等式成立，注意取等号的条用心爱心专心115号编辑件是a与b同向或反向。四、证明平面几何问题例4用向量法证明：在平行四边形ABCD的对角线BD的两方延长线上取两点E、F，使BE＝DF（如下图），则四边形AECF也是平行四边形。分析：欲证四边形AECF是平行四边形，只需证明其中一组对边平行且相等，由向量相等的定义，只要证明其中一组对边所对应的两个向量相等即可。证明：易知由四边形ABCD为平行四边形，知又BE＝DF，且与同向，则。于是，所以，即AE与FC平行且相等。故四边形AECF是平行四边形。评注：利用向量证明几何问题，就是运用向量的有关性质，通过四则运算达到证明的目的。本题通过证明两个向量相等，既能说明线段长度之间的关系，又能说明线段的位置关系（平行）。五、实际应用例5一船以的速度向垂直于岸边的方向行驶，船的实际速度是10km/h，求水流速度的大小和船行驶的方向（用与水流方向的夹角表示）。分析：速度是向量，根据题意，可以利用向量的加法求解。解：如上图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD（实际是矩形），则就是船实际航行的速度，且在Rt△ABC中，由，得∠CAB＝60°。所以水流速度的大小为5km/h，船实际行驶方向与水流方向的夹角为60°。评注：解决此类问题的关键在于“水速＋航速＝船的实际速度”，且注意“速度”是一个向量，既有大小，又有方向。用心爱心专心115号编辑
