1.2.7二次函数的图象和性质—增减性和最值双基达标（限时20分钟）1．二次函数y＝x2－x＋2012的开口方向是()．A．向上B．向下C．可能向上也可能向下D．向左解析因为二次项系数>0，所以二次函数开口向上．答案A2．函数f(x)＝－x2＋2x－3在闭区间[0，3]上的最大值、最小值分别为()．A．0，－2B．－2，－6C．－2，－3D．－3，－6解析∵f(x)＝－(x－1)2－2，∴当x＝1时，有最大值－2；当x＝3时，有最小值－6.答案B3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是递增函数的是()．A．y＝x2－2x＋1B．y＝C．y＝－D．y＝解析y＝x2－2x＋1在[1，＋∞)上递增，而在(0，1]上递减；y＝在(0，＋∞)上是递减函数；y＝＝在[0，1]上递增，[1，2]上递减．只有y＝－在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递增，从而在(0，＋∞)上递增．答案C4．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点为(－1，－3)，则b＋c＝________．解析由已知∴∴b＋c＝－6.答案－65．二次函数y＝－x2－4x＋3的值域是__________．解析y＝－x2－4x＋3＝－(x2＋4x＋4)＋7＝－(x＋2)2＋7.所以这个函数的值域是(－∞，7]．答案(－∞，7]6．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0.(1)求b与c的值．(2)试证明函数f(x)在区间(2，＋∞)上是递增函数．解(1)由f(1)＝0，f(3)＝0得即解得b＝－4，c＝3.(2)证明设2＜x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝(x－4x1＋3)－(x－4x2＋3)＝x－x－4(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－4)，2∵＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2－4＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此函数f(x)在区间(2，＋∞)上是递增函数．综合提高限时25分钟7．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大、最小值分别为()．A．42，12B．42，－C．12，－D．无最大值，最小值为－解析∵f(x)＝－，x∈(－5，5)，∴当x＝－时，f(x)有最小值－，f(x)无最大值．答案D8．函数y＝的值域为()．A.B.C.D.解析∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，∴0<≤，∴函数y＝的值域是.答案C9．用长度为24m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m.解析设隔墙长为x，则y＝x·＝－2x2＋12x，∴x＝3时，y最大．答案310．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为________．解析由f(0)＝1可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，故f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，可得f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，故a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.答案f(x)＝x2－x＋111．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标分别是－2，6，图象与y轴相交，交点和原点的距离为3，求此函数解析式．解设二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)．∵与x轴交点的横坐标分别为x1＝－2，x2＝6.代入得y＝a(x＋2)(x－6)，y＝a(x2－4x－12)＝ax2－4ax－12a.又∵图象与y轴相交，交点和原点的距离为3，|∴－12a|＝3.∴－12a＝3或－12a＝－3，即a＝－或a＝.∴所求函数解析式为y＝－(x2－4x－12)＝－x2＋x＋3或y＝(x2－4x－12)＝x2－x－3.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a)．(1)求g(a)的函数表达式；(2)求g(a)的最大值．解(1)由f(x)＝2x2－2ax＋3＝2(x－)2＋3－，知图象对称轴方程为x＝，根据二次函数图象的对称轴与题设区间的相对位置分类讨论．①当≤－1，即a≤－2时，g(a)＝f(－1)＝2a＋5；②当－1＜＜1，即－2＜a＜2时，g(a)＝f()＝3－；③当≥1，即a≥2时，g(a)＝f(1)＝5－2a.综合①②③，得g(a)＝(2)当a≤－2时，g(a)≤1；当－2＜a＜2时，g(a)≤3；当a≥2时，g(a)≤1.∴当a＝0时，g(a)的最大值为3.
