微信订阅号：中青数理1.已知四棱锥的顶点在底面的射影恰好是底面菱形的两对角线的交点，若，，则长度的取值范围为解析：如图设，则，，2.一个半径为1的小球在一个棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_______解析：如图，当小球贴着底面和三个侧面运动时，它与底面的切点形成一个三角形，这个三角形和底面三角形之间的部分就是在底面上不能接触的部分，设小球同时与底面和左右两侧面都相切，O为球心，与底面和右侧面切点分别为M,N，平面OMN与底面棱AB交于点P，显然，则为二面角的平面角，，则,由二倍角公式可求得,而，故,,故四个面不能接触到面积=3.在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是)65,61(1/3POABOMNPAB微信订阅号：中青数理解析：必须比如图的三棱锥体积大，然后小于剩余体积，否则根据对称性一样液面是三角形4.一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点1A的正上方有一个光源A，1AA与球相切，16,AA球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于______解析：（单德林双球）设A1A2上切点为T，AB2与球O切点为P，则而5.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数，那么积是______6解析：正六面体内切球的球心就是底面正三角形的中心，它到各个侧面的距离就是内切球半径，可以直接求，也可以用体积法求；而正八面体也可以用两种方法求解6.三位学友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如图所示．盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半．设剩余饮料的高度从左到右依次为，，，则它们的大小关系是．2/3B1A2AA1A1B21h2h3h微信订阅号：中青数理解析：圆锥、圆柱是圆台的特例，故介于，之间，结论是＞＞．7.如图，在长方形ABCD中，2AB，1BC，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC．在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足．设AKt，则t的取值范围是．解析：过作于，则由三垂线定理知，在平面图形中三点共线，下面只需要研究平面图形中点与，分别重合情形即可.8.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B–AC–D，则折起后的BD=________解析：注意在平面图形中应用余弦定理求线段长9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_______解析：（2007全国联赛）如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则。同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条。在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为。这样的弧也有三条。于是，所得的曲线长为3/3
