哥德尔不完全性定理中国人民大学哲学系陈慕泽第一讲哥德尔不完全性定理的背景、内容和影响第二讲哥德尔第一不完全性定理和第二不完全性定理的证明哥德尔不完全性定理的背景、内容和影响哥德尔其人哥德尔不完全性定理的背景哥德尔不完全性定理内容及其证明的直观描述哥德尔不完全性定理的挑战性影响哥德尔是20世纪最伟大的数学家和逻辑学家之一。在逻辑学中的地位，一般都将他与亚里士多德和莱布尼兹相比；在数学中的地位，爱因斯坦把哥德尔的贡献与他本人对物理学的贡献视为同类。1952年6月美国哈佛大学授予哥德尔荣誉理学学位时，称他为“20世纪最有意义的数学真理的发现者”。在哥德尔所发现的被称为“20世纪最有意义的数学真理”当中，最杰出，最具有代表性、最有震撼力的是哥德尔不完全性定理。哥德尔第一不完全性定理一个不弱于初等数论的形式系统如果是一致的，则是不完全的。其直观意思大致可以这样描述：一个理论，如果具备足够的表达能力和推理能力，那么，只要它不会证明自相矛盾的结论，就必然存在某种真理，它不可能证明。一个人，如果说的都是真话，那么，必定并非所有的真话他都能说（即总有真话他不能说）。哥德尔第二不完全性定理一个不弱于初等数论的形式系统如果是一致的，则这种一致性在该系统内不可证明。其直观意思大致可以这样描述：一个理论，如果不自相矛盾，那么这种不自相矛盾的性质在该理论中不可证。一个人，如果始终如一，从不自相矛盾，那么，他必定无法说明，自己为什么会具备这种品质。曾有人问哥德尔，是否可以将不完全性定理推广到数学以外，哥德尔尝试给出了一个自己认为合理的表述：一个处处按统一法则行事的社会，就其行为而言，或者是不一致的，或者是不完全的，即无力解决某些可能是极端重要的问题。当社会面临困难处境时，这两者都会危及社会的生存。哥德尔定理是一种特殊的数学命题，称为元数学命题。什么是元数学？什么是元逻辑？或者一般地，什么是元理论？科学的严格的元理论，何以成为可能？元理论对象理论对象这应当是科学理论的理想结构模式（逻辑）元理论的目标：分析和论证对象理论的元逻辑性质，最重要的是可靠性、一致性和完全性，以及独立性和可判定性等。元理论必须比对象理论丰富。一般地，一个对象理论不能同时成为自己的元理论。科学元理论的前提：对象理论的足够严格。数理逻辑为数学和逻辑建立了严格的元理论，其前提是，它为逻辑和数学建立了最为严格的对象理论。在抽象性和严格性上达到极致的理论形态：形式系统非公理系统科学科学知识理论实质公理系统公理系统形式公理系统（形式系统）科学知识和科学理论的区别是什么？非公理系统和公理系统的区别是什么？实质公理系统和形式系统的区别是什么？构造形式系统的目的和意义何在？什么是公理化科学理论的“内在循环”公理化方法的两个要点公理的古典含义和现代含义什么是形式化非形式的、形式的和形式化的形式化方法和形式系统形式化方法的两个要点语法和语义对象理论和元理论形式化和公理化形式化的意义形式系统的语法符号库形式语言形成规则形式系统公理演绎结构推导规则“可证”——核心语法概念形式系统的极端抽象性形式系统的语法理论只涉及符号与符号之间的关系，不涉及符号的意义。形式系统的极端严格性能行方法形式系统的极端严格性：任给一个符号，可以能行地判定是否为系统中的符号；任给一个符号串，可以能行地判定是否为系统中的公式；任给一个系统中公式，可以能行地判定是否为系统中的公理；任给一个系统中公式序列，可以能行地判定是为系统中的一个证明。形式系统的语义形式系统的语义理论的目标“真”——核心语义概念同一形式系统的不同语义解释形式系统的元理论可靠性一致性完全性可判定性独立性形式化的重要概念对象语言和元语言对象理论和元理论语法和语义系统内的证明和关于系统的证明内定理和元定理构造形式系统的意义，或者说形式化方法的意义在于：第一，使系统内的推导和论证的严格性达到了极致；第二，使区分对象理论和元理论，建立严格的元理论成为可能。在几乎所有的科学理论中，只有形式化的数理逻辑把自己的理论明确区分为两个部分：对...
