第2课平面坐标系中几种常见变换、参数方程一、填空题1．直线(t为参数)的倾斜角是________．解析：把直线的参数方程化为普通方程x＋y＝2，所以其斜率为－1，倾斜角为135°.答案：135°2．曲线(≤θ≤π)的长度是________．解析：曲线是圆x2＋y2＝25的一段圆弧，它所对的圆心角为π－＝.所以曲线的长度为.答案：3．已知点P(x，y)在曲线(θ为参数)上，则x＋y的最大值为________．解析：x＋y＝－1＋2sin，所以其最大值为2－1.答案：2－14．两圆与的位置关系是________．解析：两圆的圆心距为＝5，两圆半径的和也是5，因此两圆外切．答案：两圆外切5.已知P(x，y)是椭圆＋＝1上的点，则u＝x＋y的取值范围是________．解析：∵椭圆的参数方程可写为∴可设P点的坐标为(12cosφ，5sinφ)．从而u＝12cosφ＋5sinφ＝13sin.∵－13≤13sin≤13，∴u的取值范围是－13≤u≤13.答案：－13≤u≤136．已知点P(x，y)为椭圆＋＝1(b>4)上的点，则x2＋2y的最大值为________．解析：设x＝2cosθ，y＝bsinθ，x2＋2y＝4cos2θ＋2bsinθ＝－4sin2θ＋2bsinθ＋4＝－42＋4＋，因为－1≤sinθ≤1，>1，故当sinθ＝1时，(x2＋2y)max＝2b.答案：2b7．点P为曲线(θ为参数)上一点，点Q为直线(t为参数)上一点，则P、Q的距离的最小值为________．解析：由曲线(θ为参数)，得(x－1)2＋y2＝1，将直线(t为参数)化为普通方程为x＋y＋3＝0.圆心到直线的距离为d＝＝2，∴P、Q的距离的最小值为2－1.答案：2－1二、解答题8．(南京调研)已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l距离的最大值．解：直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x＋2y＝0，因为P是椭圆＋y2＝1上任意一点，故可设P(2cosθ，sinθ)其中θ∈R.因此点P到直线l的距离是d＝＝.所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.9．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)求圆ρ＝3cosθ被直线(t是参数)截得的弦长．解：将极坐标方程转化成直角坐标方程ρ＝3cosθ，即x2＋y2＝3x，即2＋y2＝.，即2x－y－3＝0.所以圆心到直线的距离d＝＝0，即直线经过圆心，所以圆被直线截得的弦长为3.10．(盐城调研)已知圆C的参数方程为若P是圆C与y轴正半轴的交点，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，试求过点P的圆C的切线的极坐标方程．解：由题设知，圆心C(2,0)，P(0,2)，故所求切线的直角坐标方程为x－y＋6＝0.从而所求切线的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋6＝0.1．若点P(x，y)在曲线(θ为参数)上，求x2＋y2的最大值．解：x2＋y2＝(3＋5cosθ)2＋(－4＋5sinθ)2＝50＋30cosθ－40sinθ＝50＋50cos(θ＋φ)≤100.所以x2＋y2的最大值为100.2．已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2sin(θ＋)．(1)将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l和圆C的位置关系．解：(1)消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x＋1；ρ＝2sin(θ＋)即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为(x－1)2＋(x－1)2＝2.(2)圆心C到直线l的距离d＝＝<，所以直线l和⊙C相交．
