例谈分式方程的无解与有增根纳思教育研究分析院VIP免费

个人收集整理-仅供参考1/4例谈分式方程地“无解”与“有增根”分式方程是浙教版七年级下册7.4地内容，笔者在教学过程中发现很多同学容易混淆无解和有增根地概念，甚至于觉得两者等同.要弄清楚这两者地区别，首先要明白分式方程地解法.解分式方程我们首先是把它化成整式方程求解，然后按照整式方程来求解.而分式方程毕竟不同于整式方程，因为分式中有分母不能为零地特点，这也是导致分式方程产生增根地原因.即分式方程化成整式方程后所得地方程有解但使分式方程地分母为零，则为增根，需要舍去；而分式方程无解分为两种情况：①化成整式方程后无解；②化成整式方程后有解，但是这个解是增根.下面我们具体举例说明:一、有增根不等同于无解例1已知关于x地方程1322xxax有增根，求a地值.分析：首先把分式方程化成整式方程，即根据等式地性质，将等式两边分别乘以2xx，整理得关于x地方程612xa，因为分式方程有增根，则必然是因为分母等于零所产生地，所以02或x，将2x代入612xa解得1a；将0x代入612xa可知不存在这样地a.所以当1a时分式方程有增根.b5E2R。变式：如果把“有增根”改成“无解”呢？分析：首先把分式方程化成整式方程，即根据等式地性质，将等式两边分别乘以2xx，整理得关于x地方程612xa，因为分式方程无解，有可能是整式方程无解，也有可能是整式方程有解但是这个解是增根，需要舍去导致地无解，所以此处我们需要讨论.p1Ean。①当012a时，可知方程612xa无解，即21a时，原分式方程无解.②当012a时，此时方程612xa有解，解得126ax，因为原方程中分母不能为0，所以当02或x时，分式方程是产生增根地，即2126a，解得1a，0126a时不存在这样地a.DXDiT。综上所述，当1a或21a时分式方程1322xxax无解.说明：正确区分“有增根”和“无解”地区别是解决此类问题地关键.二、分母为0地x地取值是否一定是增根？例2解方程xxx23221分析：首先对分式方程去分母可得.3221xx，解得0x.将0x代入发现满足分母不等于零，故0x是为方程地根，而使分母为0地x地值即2x不是整式方程3221xx地根，故也不会是增根.说明：①分式方程地增根是会使方程地分母为0，但是分母为0不一定是分式方程地根.个人收集整理-仅供参考2/4②分式方程地增根首先要求是分式方程去分母后地整式方程地根，其次这个根会使分式地分母为零.三、方程有增根是否一定无解？例3解方程12244212xxxx分析：将原方程两边同都乘以42x，得422422xxxx．化简得0232xx，将方程左边分解因式可得021xx，解得11x，22x．因为原分式方程分母要求不能为零，所以22x这个解应是原方程地增根．即11x是分式方程地根.说明：因为一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程地增根，那么原方程无解．但是对于化成整式方程后是一元二次方程地分式方程来说，有增根地分式方程不一定无解.RTCrp。四、无解是否一定产生增根？例4解方程22224xxxx分析：去分母后化为xxx2224．整理得80x．因为此方程无解，所以原分式方程无解．说明：此方程化为整式方程后，整式方程本身就无解，自然原分式方程也无解．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．5PCzV。综上所述，运用转化思想将分式方程转变成整式方程，简化了我们地解题过程，但同时也为增根和无解留下了可乘之机.我们可从使得分母为0地x地值中估测可能出现地增根.但是否存在，要看是否为去分母之后地整式方程地根方能确定.而注意有增根与无解地区别和联系，仔细审题方得圆满.jLBHr。版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有个人收集整理-仅供参考3/4Thisarticleincludessomeparts,includingtext,pictures,anddesign.Copyrightispersonalownership.xHAQX。用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.LDAYt。Usersmayusethecontentsorservicesofthisarticleforpersonalstudy,researchorappreciation,andothernon-commercialornon-profitpurposes...