四点共圆四种情况及其证明VIP免费

啓*3点共El的概念："^口果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆二四点共圆的性质’(1)共圆的四个虑所连成同侧共底旳两个三角形的顶角相等；z/x\⑵圆内接四边形的对角互补；R匕%(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角=三、四点共圆的判走方法2判定方法"四点到某一定点的距离都相等^四点共圆*判定方法2：从被证的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个E±—►四点共圆判定方法3：若凸四边形的对角互补一四个顶点共圆判定方法牡若凸四边形的一个外甬等于其邻补涌的内对四个顶点共圆判定方法乩共斜边的两个亘角三角形^四个顶点共圆，且斜边为宜径判定方法6:共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧一四个顶点共圆.判定方法"(相交弦定理的逆定理)凸四边形ABCD的对角线AC、ED交于巳若PD-BP=PC-AP—四个顶点共圆*判定方法&〔割线定理的逆定理〕若凸四边形ABCD其边的延长线£氐CD交于F-»PD-PC=PB.PA四个顶点共圆二、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和若四边形ABCD内接于圆-^BD-AC二BC-AD+CD-AB.托勒密走理的逆走理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积比四边形必内接于圆=若BD-AC二BGAD+CD4B^^23边形ABCD内接于圆"四点共圆的判定与性质―、四点共圆的判定（―）判定方法「若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。2、若一个四边形的一组对角互补〔和为180°）,则这个四边形的四个点共圆。沢若一个四边形的外角等于它的內对角，则这个四边形的四个点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。6、若屈、CD两线段相交于P点，且曲XP4PCXPD,则爪B.C.D四点共圆（相交弦定理的逆定理）。1、若AB、CD两线段延长后相交于％且R\XPB=PCXPD,则恥驭6D四点共圆（割线定理）。8＞若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘和，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理。（二.）証明1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。若可叹判断出OA=OB=OC=OD,则从E、JD四点在以0为圆心0A为半径的辰上，2、若「个四边形的一组对角互.补仰为180°）,则这奉四边形的四斂点共圆。若ZA+Zc=180q或ZB+ZD=180b,则点A、JD四点共圆。A3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圖。若ZB=ZCDE,则A、B.C.D四点共圆证法同上。4、若两个点在一条线段的同旁，井且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。若ZA=ZD或三则爪取JD四点共圆。5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。如图2,若ZA=ZC=90°,则A、B、JD四点共圆。弦定理的逆定理）。6、若AB、CD两线段相交于P点，且^XPB=PCXPD,则A、B.JD四点共圆（相交$BE此时沉S2.1、若AEr匚D两线段延长相交于P*且臥XPBuPCXPD,则A、E、：D四点共圆线定S.若四边形两组对边乘和的和等于对角线的乘积■则四边也的四牛顶点共园理的逆宦理）。已知四边ABCD,若ABXCD-HED^AC=ADXDC,.贝IAB>C（2）如图二，过点A分别作半卿°和半囿°：的切线，交BD的延畏纯和CE曲延畏线于点d和点Q，连結PQ，若ZACE=PC::DE<-左必求线段PQ的长+⑶如囹三，过点丄作半圆Q的切绻交CE的延长线于点0过点。作直线矗朗垂线,奁ED的延长线于点只连结血址明：也是半Hlq的切线*如图1,厶好C■淘等RE角三勇形，厶CS为査静口为4中劇f工上一动島DF±D£交RC于F,冥甘辛分4丄£交址干MJLV平分二4肚交血于N.材⑴求证.ZUD四Ad...