北师大版2019高中数学选修1同步讲义：圆锥曲线与方程21_含答案VIP专享VIP免费

§2抛物线2．1抛物线及其标准方程学习目标1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中参数p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题．知识点一抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．知识点二抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？答案(1)是关于x，y的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，根据平方项可以确定一次项的取值范围．(2)p的几何意义是焦点到准线的距离．梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形焦点坐标p2，0－p2，00，p20，－p2准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2p的几何意义焦点到准线的距离1．抛物线的方程都是二次函数．(×)2．抛物线的焦点到准线的距离是p.(√)3．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)类型一抛物线定义及应用例1(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0等于()A．1B．2C．4D．8考点抛物线定义题点抛物线定义的直接应用答案A解析由题意，知抛物线的准线为x＝－14.因为|AF|＝54x0，根据抛物线的定义，得x0＋14＝|AF|＝54x0，所以x0＝1，故选A.(2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝32考点抛物线定义题点抛物线定义的直接应用答案C解析 点P到点(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴将直线x＋5＝0右移1个单位，得直线x＋4＝0，即x＝－4，∴点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4,0)的距离．根据抛物线的定义，可知P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，可得p2＝4，得2p＝16，∴抛物线的标准方程为y2＝16x，即P点的轨迹方程为y2＝16x，故选C.反思与感悟抛物线的判断方法(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离．(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程．跟踪训练1(1)抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为________．考点抛物线定义题点抛物线定义的直接应用答案(6,9)或(－6,9)解析设点P(x0，y0)，由抛物线方程x2＝4y，知焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1，由抛物线的定义，得|PF|＝y0＋1＝10，所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.(2)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝2|PF|，则△PMF的面积为()A．4B．8C．16D．32考点抛物线定义题点抛物线定义的直接应用答案B解析如图所示，可得F(2,0)，过点P作PN⊥l，垂足为N. |PM|＝2|PF|，|PF|＝|PN|，∴|PM|＝2|PN|，∴|PN|＝|MN|.设Pt28，t，则|t|＝t28＋2，解得t＝±4，∴△PMF的面积为12×|t|·|MF|＝12×4×4＝8.类型二求抛物线的标准方程例2分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1)设抛物线的标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)，又点(－3,2)在抛物线上，∴2p＝43或2p＝92，∴所求抛物线的标准方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)当焦点在y轴上时，已知方程x－2y－4＝0，令x＝0，得y＝－2，∴所求抛物线的焦点为F1(0，－2)，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，由p2＝2，得2p＝8，∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y；当焦点在x轴上时，已知x－2y－4＝0，令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为F2(4,0)，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由p2＝4，得2p＝16，∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x.综上，所求抛物线的标准方程为x2...