§1椭圆1．1椭圆及其标准方程学习目标1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程．知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的集合如下表：条件结论2a>|F1F2|动点的集合是椭圆2a＝|F1F2|动点的集合是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在，因此集合为空集知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．梳理(1)椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)F1(－c,0)，F2(c,0)2c焦点在y轴上y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y25＋x24＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|＝2.1．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的集合是椭圆．(×)2．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的集合是椭圆．(×)3．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√)4．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离相等的点的集合是椭圆．(×)类型一椭圆定义的应用例1点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用解方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的集合是椭圆．反思与感悟(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1(1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝2的点P的集合为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的集合为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的集合为椭圆．考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案②解析①2<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．(2)已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用解由题意可知C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，设M(x，y)，半径为R，则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，故|MC1|＋|MC2|＝10＞6＝|C1C2|，由椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16.故所求动圆圆心M的轨迹方程为x225＋y216＝1.类型二椭圆的标准方程例2求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P13，13，Q0，－12的椭圆的标准方程．考点椭圆定义及标准方程的应用题点椭圆标准方程的应用解方法一①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．依题意，有132a2＋132b2＝1，0＋－122b2＝1，解得a2＝15...
