北师大版2019高中数学选修1同步讲义：空间向量与立体几何1_含答案VIP专享VIP免费

§1从平面向量到空间向量学习目标1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．知识点一空间向量的概念思考1类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．答案在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量．思考2若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？答案一定相同．因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同，终点也相同．梳理空间向量的有关概念(1)定义：在空间中，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量．(2)长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模．(3)表示法①几何表示法：空间向量用有向线段表示.②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB→，其模记为|AB→|或|a|.(4)自由向量：与向量的起点无关的向量．知识点二空间向量的夹角思考在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？答案0或π.梳理空间向量的夹角(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．(2)图形表示角度表示〈a，b〉＝0〈a，b〉是锐角〈a，b〉是直角〈a，b〉是钝角〈a，b〉＝π(3)范围：0≤〈a，b〉≤π.(4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝π2，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.知识点三向量与直线、平面1．向量与直线与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向．如图所示．l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量，显然，与AB→平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量平行于该直线．2．向量与平面如图，如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．类型一有关空间向量的概念的理解例1给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1—→；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是()A．1B．2C．3D．4考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案B解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1→成立，故③正确；④显然正确．故选B.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对向量：①AB→与C1D1→；②AC1—→与BD1—→；③AD1—→与C1B—→；④A1D—→与B1C—→.其中互为相反向量的有n对，则n等于()A．1B．2C．3D．4考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案B解析对于①AB→与C1D1—→，③AD1—→与C1B—→长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC1—→与BD1—→长度相等，方向不相反；对于④A1D—→与B1C—→长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．类型二求空间向量的夹角例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：(1)〈AB→，A1C1—→〉；(2)〈AB→，C1A1—→〉；(3)〈AB→，A1D1—→〉．考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的夹角解(1)由题意知，A1C1—→＝AC→，∴〈AB→，A1C1—→〉＝〈AB→，AC→〉．又 ∠CAB＝π4，故〈AB→，A1C1—→〉＝π4.(2)〈AB→，C1A1—→〉＝π－〈AB→，A1C1—→〉＝π－π4＝3π4.(3)由题意知，A1D1—→＝AD→，∴〈AB→，A1D1—→〉＝〈AB→，AD→〉＝π2.引申探究在本例中，求〈AB1—→，DA1—→〉．解如图，连接B1C，则B1C∥A1D，且DA1—→＝CB1—→，连接AC，在△ACB1中，因为AC＝AB1＝B1C，故∠AB1C＝π3，〈AB1—→，DA1—→〉＝〈AB1—→，CB1—→〉＝π3.反思与感悟求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向...