3.1.1方程的根与函数的零点讨论：一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3；方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1；方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图.方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3xyO3-2-1-11212-3-4方程x2-2x-3=0有两个实根x1=-1,x2=3；函数y=x2-2x-3的图象与x轴有两个交点(-1,0),(3,0).方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1xyO-11212方程x2-2x+1=0有两个相等的实数x1=x2=1；函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一的交点(1,0).方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3xyO35-1121234方程x2-2x+3=0无实数根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点.上述关系对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及其相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)也成立.设判别式△=b2-4ac，我们有：（1）当△>0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)；（2）当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.结论：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标.一、函数的零点定义:对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zeropoint）.说明：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.思考1:函数y=f(x)的零点是一个点吗？思考2：所有的函数y=f(x)都有零点吗？一、函数的零点课堂例题例、利用函数图象判断方程有没有根，有几个根：2350;xxxyO365-11212345874-2由图知，相应的二次函数y=-x2+3x+5的图象与x轴有两个交点，所以一元二次方程-x2+3x+5=0有两个不等的实数根.y=-x2+3x+5探究：观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？yO3-2-1-11212-3-4二、零点定理经过讨论，可以发现：f(-2)·f(1)<0，函数f(x)=x2-2x-3在区间(-2,1)内有零点x=-1，是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)·f(4)<0，函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3，是方程x2-2x-3=0的另一个根.零点定理：一般地，我们有：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.课堂例题例1.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.解：作出x、f(x)的对应值表：x123456789f(x)-4-1.30691.09863.338635.60947.79189.945912.079414.1972再作出y=f(x)的图象：由以上表格和图象可知，f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点.由于f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以，它仅有一个零点.课堂小结如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.3.1.2用二分法求方程的近似解讨论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？新课导入上节课我们已经知道，f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点.问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.下面介绍一种求近似解的方法.我们知道，函数f(x)的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解.1．在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；2．用计算器计算f(2.5)≈-...
