综合法和分析法VIP免费

2.2.1综合法和分析法演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习推理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。常用的直接证明方法有:综合法与分析法。引例：四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，BC=DAABCD1342证明连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形所以AB//CD，BC//DA4321，故又AC=CACDAABC所以故AB=CD，BC=DA本题条件已知定义已知定理已知公理本题结论…从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…特点:“由因导果”例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？基本不等式:??分析由A,B,C成等差数列可得什么由a,b,c成等比数列可得什么0260(?)ACBB为什么2bac?怎样把边,角联系起来222:2cosbacacB余弦定理符号语言图形语言文字语言学会语言转换找出隐含条件例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．例：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．证明：CA2BCB成等差数列、、A3BCBAacbcba2成等比数列、、accaBaccab22222cos2由余弦定理得0)(222caacacca即ca是等边三角形ABC解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．分析基本不等式：a+bab2证明:要证a+bab2只需证2a+bab只需证20a+bab只需证()b20a因为成立()b20a所以成立a+bab2(a>0,b>0)的证明.一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．又叫“逆推证法”或“执果索因法”特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证：所以结论成立格式13725例求证3725解:要证()()223725只需证展开,只需证215只需证21<25因为21<25成立,所以成立.3725分析基本不等式：(a>0,b>0)的证明.a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2还原成综合法：例2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SCFESCBA证明:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以.AF⊥SC成立例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,试证：s<2a1s=(a+b+c),2解:欲证s<2a,只需证2ssb即证b