微专题八基本不等式的向量形式[思维扩展]波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．我们知道，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)以及≥(a，b∈R＋)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(a－b)2＝|a－b|2≥0不难得到a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．但将≥(a，b∈R＋)简单地类比为≥就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．注意到≥(a，b∈R＋)⇔2≥ab(a，b∈R＋)，而不等式2≥a·b左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a＋b)2＝(a－b)2＋4a·b＝|a－b|2＋4a·b≥4a·b可得2≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．这样，我们就得到如下两个结论：定理1设a，b是两个向量，则a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．定理2设a，b是两个向量，则2≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．例1若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．答案－解析方法一由定理1得32≥|2a－b|2＝(2a－b)2＝(－2a)2＋b2－4a·b≥2·(－2a·b)－4a·b＝－8a·b，所以a·b≥－，当且仅当b＝－2a时等号成立，故a·b的最小值是－.方法二由定理2得2a·(－b)≤2＝≤，则a·b≥－，当且仅当b＝－2a时等号成立．故a·b的最小值是－.说明本题可推广至一般形式：若平面向量a，b满足：|λa＋b|≤m(m>0)，则当λ>0时，a·b的最大值为；当λ<0时，a·b的最小值为.例2已知a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的最小值为________．分析此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下．答案解析引入正参数λ，由(a＋b)·(a－2b)＝0得a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，则1－2b2＝a·b，11－2b2＝a·b≤＝(λ＋b2)，当且仅当λa2＝b2，即b2＝λ2时等号成立．所以1－2λ2＝a·b≤＝，解得λ＝|b|≥，故|b|的最小值为.例3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，求|c|的最大值．解由(a－c)·(b－c)＝0得c2＝c·(a＋b)，由定理1及已知条件得c2＝c·(a＋b)≤[c2＋(a＋b)2]＝(c2＋a2＋b2)＝(c2＋2)，解得|c|2≤2，故|c|的最大值是.拓展1已知a，b是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是.拓展2已知a，b是平面内两个互相垂直的向量，且|a|＝m，|b|＝n，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是.例4平面上三点A，B，C满足AB·BC>0，求AC2＋的最小值．解由定理2得0
