利用二项展开式直接求特定项系数［例1］在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为A.-160B.240C.360D.800分析：把［(x2+3x)+2］5直接展开，即=(x2+3x)5+5(x2+3x)4·2+10(x2+3x)3·22+10(x2+3x)2·23+5(x2+3x)·24+25.注意到x的指数为1，只有在5(x2+3x)·24中才出现x的项，所以x的系数为5×３×２4=240.答案：B但应明确直接展开只适用于n是较小的自然数.二、利用二项展开式的通项公式［例2］由(x+)100展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有________项.A.50B.17C.16D.15分析：考虑(x+)100的展开式的通项Tr+1=(x)100-r()r=···x100-r=···x100-r.要使系数为有理数，则r为6的倍数，令r=6k(k∈Z)，而且0≤6k≤100,即r=0,6,12,…,96，因此共有17项.答案：B三、分解因式求特定项系数［例3］求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x4项的系数.分析：原式=(1-x3)(1-x)9,其中(1-x)9展开式的通项为Tr+1=(-x)r.令r=4,得T4+1=x4;令r=1,得T1+1=-x.故x4的系数为+=135.四、利用排列组合原理求系数［例4］求(x2+3x-1)9(2x+1)4展开式中含x2的项的系数.分析：为了保证相乘得到x2的项，则前一式子中的x2、3x及后一式子中的2x取出的个数有以下几种情况：1、0、0；0、2、0；0、1、1；0、0、2.故展开式中含x2的项为x2(-1)8+(3x)2(-1)7+(3x)1用心爱心专心·(-1)8·2x·+·(-1)9(2x)2=(9-324+216-24)x2=-123x2,故所求系数为-123.五、利用估算公式求系数最大项估算公式：若二项式(ax+by)n(a,b∈R+,n∈N)的展开式的系数最大的项为第r+1项，则有公式证明：设展开式的第r、r+1、r+2项的系数分别为,,.由展开式相邻两项的系数关系，易知而由题意，第r+1项的系数最大，所以，,即成立.［例5］问(2+3x)20展开式中系数最大的项是第几项？解：设第r+1项的系数最大，则解得≤r≤.由于r是正整数，所以r=12,即第13项的系数最大.说明：若在(ax+by)n中，a、b异号，则估算公式改为由此算出的是展开式中系数的绝对值最大的项.六、巧求二项展开式某一特定项求二项展开式中某一特定项是《排列组合二项式定理》中常见题型之一.它的一般解法是应用二项展开式的通项，这已为大家所熟知.本文要介绍的是另一种解法，这种解法能使某些直接应用二项展开式的通项不易解决的问题迎刃而解.［例6］求(a+b+c+d)1995展开式中a200b800·c900d95项的系数.解：(a+b+c+d)1995=(a+b+c+d)(a+b+c+d)…(a+b+c+d),一共1995个因式相乘，等号右边的积的展开式的每一项是从1995个因式的每一因式中任取一个字母的乘积.显然a200b800c900d95项的系数应为.［例7］求(|x|+-2)3展开式中的常数项.用心爱心专心解：(|x|+-2)3=()6.展开式中第r+1项为Tr+1=(-1)r=(-1)r|x|3-r,当且仅当r=3时，Tr+1为常数，所以，所求常数项为T4=-20.［例8］求(1+x-x2)6展开式中的x5项.分析：1+x-x2不是完全平方式，若不用本文所给方法，则要两次应用二项式定理，若用本文所给新解法，则化繁为简.解：(1+x-x2)6展开式中，xm+2n项(其中m,n都是自然数，且m+2n≤6)是(-1)n···xm+2n.已知m+2n=5,方程的解有以下几种情况：①若n=1,则m=3,得项-x5=-60x5;②若n=2，则m=1，得项x5=60x5;③若n=0,则m=5,得项x5=6x5.以上3种合计得项是-60x5+60x5+6x5=6x5.●备课资料一、与二项式系数有关的求和问题(一)赋值法［例1］证明下列等式.(1)+++…+=2n;(2)+++…=+++…=2n-1.证明：利用(1+x)n=+x+x2+…+xn赋值.令x=1可得(1+1)n=+++…+=2n.令x=-1可得(1-1)n=+++….可得+++…=+++….又+++…+=2n,∴++…=++…=·2n=2n-1.［例2］若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求a1+a2+a3+a4=________.分析：令x=1可得(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4.用心爱心专心又a0=()4=9,∴a1+a2+a3+a4=(2+)4-9=88+56.(二)公式法［例3］求和：+++….分析：针对求和问题，抓住变通项思路，灵活运用组合数公式将变量转化为不变量，并结合组合数性质进行化简.解： ===，∴+++…+=++…+=(+++…+)=(+++…+-1)=(2n+1-1).(三)裂项求和［例4］求和：+++…+.分析：抓住通项，对通项进行变形，然后寻求求解思路.解： =,∴=.∴++…+=(+…+(-)=2-.(四)构造等式用心爱心专心［例5］求和：+++…+(r＜n).解：由等比数列前n项和公式知(1+x)r+(1+x)r+1+…+(1+x)n=.又等式左...
