2014-2015年高中数学选修2-1-22.4.2.2VIP免费

第2课时抛物线方程及性质的应用【题型示范】类型一直线与抛物线的位置关系【典例1】(1)过点(0,-1)的直线与抛物线x2=-2y公共点的个数为()A.0B.1C.2D.1或2(2)已知直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x.问:k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点,一个交点,无交点?【解题探究】1.题(1)过定点的直线与抛物线有几个公共点,关键条件是什么?2.题(2)直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)都有哪几种位置关系?【探究提示】1.过定点的直线与抛物线有几个公共点,关键要看定点与抛物线的位置关系.2.直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)有相交、相切、相离三种位置关系.【自主解答】(1)选D.因为点(0，-1)在抛物线内部，故过该点的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的；斜率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1或2.(2)由方程组消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,记Δ=(2k2-4)2-4k4=16(1-k2),①若直线与抛物线有两个交点,则k2≠0且Δ>0,即k2≠0,且16(1-k2)>0,解得k∈(-1,0)∪(0,1).所以当k∈(-1,0)∪(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点.2ykx1,y4x,②若直线与抛物线有一个交点，则k2=0或k2≠0时，Δ=0.解得k=0或k=±1.所以当k=0或k=±1时，直线l和抛物线C有一个交点.③若直线与抛物线无交点，则k2≠0且Δ<0.解得k>1或k<-1.所以当k>1或k<-1时，直线l和抛物线C无交点.【方法技巧】直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.【变式训练】过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点，求此直线方程.【解析】显然，直线斜率k存在，设直线方程为y-2=k(x+3),由消去x,整理得ky2-4y+8+12k=0.①2y2kx3,y4x,(1)当k=0时，方程①化为-4y+8=0,即y=2,此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.(2)当k≠0时，方程①应有两个相等的实根，所以即解得或k=-1.则直线方程为或y-2=-(x+3),k0,0,k0,164k812k0,1k31y2(x3)3即x-3y+9=0或x+y+1=0.故所求直线有三条，其方程分别为y=2或x-3y+9=0或x+y+1=0.【补偿训练】直线ax-y-a=0与抛物线y2=2px(p>0)的公共点的个数为.【解析】由ax-y-a=0,得y=a(x-1),故直线恒过定点(1,0),又定点(1,0)在抛物线y2=2px的对称轴上,故当直线与对称轴重合时有一个交点,当直线与对称轴不平行或不重合时,有两个交点.答案:1或2类型二抛物线的弦长问题【典例2】(1)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得弦长|AB|=则抛物线方程为__________.(2)过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为60°的直线与抛物线相交，求直线被抛物线截得的弦长.35,【解题探究】1.题(1)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线方程如何设？2.题(2)求过焦点的弦长，有哪些公式可用？【探究提示】1.可设抛物线的方程为y2=ax(a≠0).2.可利用或或|AB|=x1+x2+p等.212AB1k|xx|1221AB1|yy|k【自主解答】(1)设抛物线的方程为y2=ax(a≠0),将y=2x-4代入得:4x2-(a+16)x+16=0.①设A(x1,y1),B(x2,y2),即x1,x2为方程①的两根,由根与系数的关系知所以|x1-x2|=所以|AB|=又|AB|=所以a=4或a=-36,所以所求抛物线方程为y2=4x或y2=-36x.答案：y2=4x或y2=-36x1212a16xx,xx4,4221212a16xx4xx()1642212a161kxx5()16,4g35,(2)方法一：抛物线的焦点为F(1,0)，倾斜角为60°的直线的斜率为k=tan60°=所以直线方程为y=(x-1),代入抛物线方程整理得3x2-10x+3=0,所以由抛物线的焦点弦长公式得所求弦长为3,31210xx.3121016xxp2.33方法二：抛物线的焦点为F(1,0)，倾斜角为60°的直线的斜率为k=tan60°=所以直线方程为y=(x-1),代入抛物线方程整理得3x2-10x+3=0,解得x1=3或x2=代入y=(x-1),得或所以|AB|=3,31,331y2322y3,322121216xxyy.3【方法技巧】直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2...