《金版新学案》2012高三数学一轮复习-第2章--函数、导数及其应用第10课时-变化率与导数、导数的计算精品课VIP专享VIP免费

第10课时变化率与导数、导数的计算1．导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0.【思考探究】f′(x)与f′(x0)相同吗？提示：f′(x)与f′(x0)不相同；f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．3．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的，过点P的切线方程为：．2．导函数当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.y′斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝tanxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logaxf′(x)＝(a＞0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝0nxn－1cos_x－sin_xaxln_aex5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)1．(2010·全国新课标卷)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2解析： 点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，且y′＝3x2－2，∴过点(1,0)的切线斜率k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，由点斜式得切线方程为y－0＝1·(x－1)，即y＝x－1.答案：A答案：B2．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.ln22D．ln2解析：由已知有f′(x)＝lnx＋x·1x＝lnx＋1，所以f′(x0)＝2⇒lnx0＋1＝2⇒x0＝e.故选B.3．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：B4．已知函数f(x)＝x，x＞0cosx，x≤0，则f′(1)f(0)＝________.解析：当x＞0时，f′(x)＝12x，故f′(1)f(0)＝12.答案：125．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b(v是平均速度)，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．解析：由已知任何时刻t的瞬时速度为s′＝(vt＋b)′＝v，∴相等．答案：相等1．根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx，简记作：一差、二比、三极限．2．函数的导数与导数值的区别与联系导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数．一质点运动的方程为s＝8－3t2.(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及求导两种方法)．解析：(1) s＝8－3t2，∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，v＝ΔsΔt＝－6－3Δt.(2)定义法：质点在t＝1时的瞬时速度v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－6－3Δt)＝－6.求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.当t＝1时，v＝－6×1＝－6.【变式训练】1.用定义法求下列函数的导数：(1)y＝x2；(2)y＝4x2.解析：(1)因为ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝x＋Δx2－x2Δx＝x2＋2x·Δx＋Δx2－x2Δx＝2x＋Δx，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.(2)Δy＝4x＋Δx2－4x2＝－4Δx2x＋Δxx2x＋Δx2，ΔyΔx＝－4·2x＋Δxx2x＋Δx2，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－4·2x＋Δxx2x＋Δx2＝－8x3.求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1.解析：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx；(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x...