3.4.1函数与方程-(2)VIP免费

数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。——华罗庚在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.早在16世纪，数学家就已经解决了一次，二次，三次和四次方程的一般性解法，在随后的三百多年里，方程解法的发展停滞了…直到19世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解问题1下列方程有实数根吗？有几个？（1）210x；（2）2230xx；（3）062lnxx我的根是0.5我的根是3和-1我的根有点难度，等学完这节你们就有思路了！问题情境学生活动方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数方程的实数根x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(-1,0)(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－13..y=x2－2x+3.yx01xy0一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点的横坐标.函数的图像方程的实数根方程函数x1，x2x1=x2无实数根函数的图象与x轴的交点(x1,0)(x2,0)(x1,0)无交点xy0x1x2...yx0xy0x1函数的图像探究活动一ax2+bx+c=0(a>0)y=ax2+bx+c(a>0)思考：对于一般的函数y=f(x)与方程f(x)=0是否也有上述的结论成立呢？方程△>0△=0△<0方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标0xyx1x2x3x4Y=f(x)对于一般的函数y=f(x)与方程f(x)=0是否也有上述的结论成立呢？思考：函数的零点李建华3.4.1函数的零点数学建构一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.函数y=f(x)的零点方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)的图像与x轴交点横坐标实数x零点例1（1）求下列函数的零点:数学运用①f(x)=2x-3②f(x)=3x-1（2）证明f(x)=x2-2x-1有两个不同的零点.xy0-132.1.数学运用xy0-132.1.在区间[-1,3]上有:f(-1)0,f(0)0,f(1)0,f(2)0,f(3)0,……结合函数的零点，试猜想有何规律？<<><>变式：证明f(x)=x2-2x-1在（2，3）上有零点.探究活动二函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？思考观察函数f(x)的图象：0yxabcd在区间(c,d)上____零点;f(c))·f(d)____0.在区间(a,b)上____零点;f(a)·f(b)____0.在区间(b,c)上____零点;f(b)·f(c)____0.有<有<有<探究活动二（3）若函数f(x)=,f(-1)·f(1)____0(“＜”或“＞”)在区间定义域D上______(有/无)零点；x11-1＜无一般地，若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.函数零点存在性定理数学建构不间断的思考并辨析下列问题（可画图举例）:（1）如果把定理中的条件“不间断的”去掉，又会怎样呢？（2）如果把定理中的条件“f(a)·f(b)＜0”去掉呢？（3）若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？（4）定理中第一个区间[a,b]能改为开区间(a,b)吗？（5）定理为什么是在（a,b）内有零点，而不是[a,b]上有零点？（6）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？（7）在什么样的条件下，零点的个数是惟一的呢？f(a)·f(b)<0数学运用xy0-132.1.例1.变式：证明f(x)=x2-2x-1在（2，3）上有零点.法（2）证明:因为f(2)=4-4-1=-1<0f(3)=9-6-1=2>0且函数f(x)的图象在区间[2,3]上的图象是不间断的。所以函数f(x)在区间(2,3)上存在零点.巩固练习练习.求证：函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2,-1)上存在零点.证明:因为f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-3<0f(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1<0且函数f(x)的图象在区间[-2,-1]上的图象是不间断的，所以函数f(x)在区间(-2,-1)上存在零点.提炼反思:1.数学知识：函数零点的定义函数零点的存在性定理2.数学方法：确定零点的方法：代数、几何4.拓展延伸：你能利用本节课所学知识定方程的解的个数吗？062lnxx3.数学思想：数形结合、化归与转化、函数与方程.方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)的零点函数y=f(x)的图像与x轴交点横坐标课后作业1.必做题：《新补充习题》2.选做题：函数在区间(0,2)内恰有一个零点，则a的取值范围.2()21fxaxx由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．由于函...