2.6--幂函数VIP免费

要点梳理1.幂函数的意义一般地,形如y=_________的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.2.画幂函数图象的方法(1)列表、描点、连线法.(2)先画出幂函数在第一象限的图象,再利用幂函数的性质作出其余的图象.§2.6幂函数基础知识自主学习R)(x3.幂函数y=x,y=x3的图象的研究用描点法画出图象.,,,,32211xyxyxyxy4.幂函数y=x,y=x2,y=x3,的性质xyxy121,y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R［0,+∞)R［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-∞,0)减(0,+∞)增增增(-∞,0)减(0,+∞)减定点(0,0)(1,1)(1,1)21xy5.幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点_____.(2)如果α＞0,则幂函数的图象过原点，并且在区间［0,+∞)上为_______.(3)如果α＜0，则幂函数图象在区间(0,+∞)上为_______.在第一象限内,当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋向于+∞时,图象在y轴上方无限地逼近x轴.(4)当α为奇数时,幂函数为______,当α为偶数时,幂函数为______.(1,1)增函数减函数奇函数偶函数基础自测1.下列函数中是幂函数的是____.①y=xx;②③④解析由幂函数的定义可得.2.函数y=x-2的定义域是_________.解析 y=x-2=∴定义域为{x|x≠0}.;213xy;121xy④,21x.2xy{x|x≠0}3.若幂函数f(x)的图象经过点,则其定义域为________________.解析设f(x)=xα. 图象过点,∴,即3-2=3α,∴α=-2,即f(x)=x-2=,∴x2≠0,即x≠0,其定义域为{x|x∈R,且x≠0}.{x|x∈R,且x≠0}),(913),(91339121x4.若,则a的取值范围是_______.解析令f(x)=∴f(x)的定义域是{x|x>0},且在(0,+∞)上是单调递减函数,故原不等式等价于2121231)()(aa,xx121.,233223102301aaaaa解得),(2332【例1】已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x)是:(1)幂函数;(2)幂函数,且是(0,+∞)上的增函数;(3)正比例函数;(4)反比例函数;(5)二次函数.(1)(3)(4)(5)分别利用相应函数的定义确定m的值;(2)中利用幂函数的性质与幂指数之间的关系,确定m.典型例题深度剖析分析解(1)因为f(x)是幂函数,故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.(2)若f(x)是幂函数且又是(0,+∞)上的增函数,则∴m=-1.(3)若f(x)是正比例函数,则-5m-3=1,解得m=此时m2-m-1≠0,故m=,035112mmm,54.54(4)若f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,则m=,此时m2-m-1≠0,故m=(5)若f(x)是二次函数,则-5m-3=2,即m=-1,此时m2-m-1≠0,故m=-1.综上所述,当m=2或m=-1时,f(x)是幂函数;当m=-1时,f(x)既是幂函数,又是(0,+∞)上的增函数;当m=时,f(x)是正比例函数;当m=时,f(x)是反比例函数;当m=-1时,f(x)是二次函数.52.525452跟踪练习1已知函数，m为何值时,f(x)是(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.解(1)若f(x)为正比例函数,则(2)若f(x)为反比例函数,则(3)若f(x)为二次函数,则(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,1222mmxmmxf)()(.,,1021122mmmmm.,,1021122mmmmm.,,2131022122mmmmm.21m【例2】点(,2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有f(x)＞g(x),f(x)=g(x),f(x)＜g(x).由幂函数的定义,求出f(x)与g(x)的解析式,再利用图象判断即可.解设f(x)=xα,则由题意得∴α=2,即f(x)=x2,再设g(x)=xβ,则由题意得∴β=-2,即g(x)=x-2,分析),(4122)(22)(241在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图所示.由图象可知:①当x＞1或x＜-1时,f(x)＞g(x);②当x=±1时,f(x)=g(x);③当-1＜x＜1且x≠0时,f(x)＜g(x).跟踪练习2(2010·盐城调研)指出函数f(x)=的单调区间,并比较f(-π)与f()的大小.解其图象可由幂函数y=x-2向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到,该函数在(-2,+∞)上是减函数,在(-∞,-2)上是增函数,且其图象关于直线x=-2对称(如图).445422xxxx,)()()(2222212114454xxxxxxxf22).22(π)(,222)2(222ππ)(2ff又【例3】已知幂函数(m∈Z)为偶函...