【全程复习方略】(陕西专用)2013版高中数学-6.7数学归纳法配套课件-北师大版VIP专享VIP免费

第七节数学归纳法三年3考高考指数:★★1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.归纳——猜想——证明仍是高考的重点；2.常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇处命题；3.题型以解答题为主，难度中等偏上.1.数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与_________有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：____时,命题成立；(2)在假设当__________时命题成立的前提下，推出当______时，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对____________都成立.正整数nn=1n=k(k≥1)n=k+1一切正整数n【即时应用】判断下列各说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)(1)用数学归纳法验证第一个值n0,则n0必定为1.()(2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.()(3)应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时，第一步是检验n等于3.()(4)用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”时，验证n=1时,左边式子应为1+2+22.()12【解析】(1)错误.有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值不是1，可能为2，3，4等.(2)正确.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推.(3)正确.第一步检验n=3,即三角形的对角线条数为0.(4)错误.验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23.答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2.数学归纳法的框图表示命题对从n0开始________________都成立.所有的正整数n归纳递推归纳奠基验证n=n0(n0∈N﹡)时命题成立.若n=k(k≥n0,k∈N﹡)时命题成立，证明__________________.n=k+1时命题也成立【即时应用】(1)已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=______时等式成立.(2)凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+________.11111234n1112()n2n42n【解析】(1)因为假设n=k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k+2.(2)从k边形到k+1边形，实际是多了一个三角形，故内角和比k时多π,即f(k+1)=f(k)+π.答案：(1)k+2(2)π用数学归纳法证明等式【即时应用】用数学归纳法证明等式的规则(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据.(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法.【提醒】用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.【例1】(2012·烟台模拟)是否存在常数a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由.【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得a,b,c的值，而后用数学归纳法证明.【规范解答】假设存在a,b,c使得所给等式成立.令n=1,2,3代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)对一切正整数n都成立.(1)当n=1时，由以上可知等式成立;abc016a4bc3,81a9bc181a41b.4c04211nn44(2)假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=则当n=k+1时，［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)==由(1)、(2)知，等式对一切正整数n都成立.4211kk,4442kk111kk(2k1)4424211k1k1.44【反思·感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用n的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明.2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“n=k+1时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.用数学归纳法证明不等式问题【方法点睛】应用数学归纳法证明不等式应注意...