11/12第二章曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r={uvcos,uvsin,bv}的坐标曲线.解u-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv0}=｛0,0，bv0｝＋u{0cosv,0sinv,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={0uvcos,0uvsin,bv}为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线.证u-曲线为r={a（u+0v）,b（u-0v）,2u0v}={a0v,b0v,0}+u{a,b,20v}表示过点{a0v,b0v,0}以{a,b,20v}为方向向量的直线;v-曲线为r=｛a（0u+v）,b（0u-v）,20uv｝=｛a0u,b0u,0｝+v{a,-b,20u}表示过点(a0u,b0u,0)以{a,-b,20u}为方向向量的直线.3．求球面r=}sin,sincos,sincos{aaa上任意点的切平面和法线方程.解r=}cos,sinsin,cossin{aaa，r=}0,coscos,sincos{aa任意点的切平面方程为00coscossincoscossinsincossinsinsincoscoscosaaaaaazayax即xcoscos+ycossin+zsin-a=0；法线方程为sinsinsincossincoscoscoscoscosazayax.4．求椭圆柱面22221xyab在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面.解椭圆柱面22221xyab的参数方程为x=cos,y=asin,z=t,}0,cos,sin{bar,}1,0,0{tr.所以切平面方程为：01000cossinsincosbatzbyax，即xbcos+yasin－ab=012/12此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面.5．证明曲面},,{3uvavur的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数.证},0,1{23vuaru，},1,0{23uvarv.切平面方程为：33zauvvyux.与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uva23).于是，四面体的体积为：3329||3||3||361auvavuV是常数.§２曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面r＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.解,4},2,,{},2,,{2222vbarEubarvbaruvu2222224,4ubarGuvbarrFvvu,∴I=2222)4(duvba2222222)4()4(dvubadudvuvba.２．求正螺面r={uvcos,uvsin,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直.解},cos,sin{},0,sin,{cosbvuvurvvrvu，12urE，0vurrF，222burGv，∴I=2222)(dvbudu， Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直.３．在第一基本形式为I=222sinhudvdu的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长.解由条件2ds222sinhudvdu,沿曲线u=v有du=dv，将其代入2ds得2ds222sinhudvdu=22coshvdv，ds=coshvdv,在曲线u=v上，从1v到2v的弧长为|sinhsinh||cosh|1221vvvdvvv.4．设曲面的第一基本形式为I=2222)(dvaudu，求它上面两条曲线u+v=0,u–v=0的交角.分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程.13/12解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1E，0vF，22auG，曲线u+v=0与u–v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为1E，0vF，2aG.曲线u+v=0的方向为du=-dv,u–v=0的方向为δu=δv,设两曲线的夹角为，则有cos=22222211aavGuEGdvEduuGdvuEdu.5．求曲面z=axy上坐标曲线x=x0,y=0y的交角.解曲面的向量表示为r={x,y,axy},坐标曲线x=x0的向量表示为r={x0,y,ax0y}，其切向量yr={0，1，ax0}；坐标曲线y=0y的向量表示为r={x,0y,ax0y}，其切向量xr={1，0，a0y}，设两曲线x=x0与y=0y的夹角为，则有cos=20220200211||||yaxayxarrrryxyx6.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为δu:δv,则有Eduδu+F(duδv+dvδu)+Gdvδv=0,将dv=0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为Eδu+Fδv=0.同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu+Gδv=0.7.在曲面上一点,含du,dv的二次方程P2du+2Qdudv+R2dv＝０，确定两个切方向（du：dv）和（δu：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.证明因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为P2)(dvdu+2Qdvdu+R=0,设其二根dvdu,vu,则dvduvu=PR，dvdu+vu=PQ2⋯⋯①又根据二方向垂直的条件知Edvduvu+F(dvdu+vu)+G=0⋯⋯②将①代入②则得ER-2FQ+GP=0.8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E2du=G2dv.证用分别用δ、、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu０，δv＝０，沿v－曲线u＝０，v０．沿二等分角轨线方向...
