等差数列的前n项和(1）VIP免费

2.3等差数列的前n项和200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：计算从1到100的自然数之和。据说，当其他同学忙于把100个数逐步相加时，10岁的高斯却用快捷的方法算出了答案，你也能用快捷的方法算出来吗？问题1等差数列的前n项和问题1:1+2+3+····+100=？首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99=101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，······第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：······分析：50502100)1001(21001012100)a(a1001问题2一个堆放铅笔的V形架，最下面第一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就这样一层一层地往上放。最上面一层放120支。求这个V形架上共放着多少支铅笔？120层有多少层呢？120层=121·=72602120=(1+120)·21202120·)(1201aaS120=1+2+3+······+120猜测:对于等差数列{an}问题1:S100=1+2+······+1002100·)(1001aa问题2:S120=1+2+······+1202120·)(1201aa2n·)(1nnaaSSn=a1+a2+······+an成立吗？等差数列的前n项和公式推导：])1([)2()(1111dnadadaaSn])1([)2()(dnadadaaSnnnnn个（（（nnnnnaaaaaaS)))2111)1naan（2)1nnaanS（任意的第任意的第KK项与倒数第项与倒数第KK项的和等于首项、末项的项的和等于首项、末项的和和)(21nnaanS2)(1nnaanSdnaan)1(1dnnnaSn2)1(1注意：对于这两个公式分别有四个未知数，如果已知其中的任何三个可以求另外一个。第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。等差数列的前n项和例1.（1）求正整数列前n个偶数的和。（2）为了参加冬运会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m，以后每天比前一天多跑500m，这个同学7天一共将跑多长的距离？nnnnnsn22)22(28642解：masda4550050021500075002677500,5000171解：例2．已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程，由此可以求得a1与d，从而得到所求前n项和的公式.nnnnnsdadadadnnnasssnn211112010362)1(46412201902031045102)1(1220,310所以解方程组得得到将它们代入公式解：由题意知：还有其他方法吗？根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数1(1)3,21,195,,nnaanSdn求266(2).16,39,,naaSda求课堂练习等差数列的前n项和1、等差数列求和公式既可以用首项，公差d，项数n表示，也可以用首项，末项，项数n表示。2)(1nnaanS或dnnnaSn2)1(12、运用公式时，注意根据已知条件选用恰当的公式。等差数列的前n项和P46页第2题、第4题、第5题3143nnSnTn1515ab设{an},{bn}都为等差数列，它们的前n项和分别为Sn,Tn且求探究思考例3．已知等差数列,a1=3且满足an+1=an+2,求的前n项和.nnnnaansnndnaadaannnnn22)123(2)(122)1(3)1(222111解：根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数1(1)3,21,195,,nnaanSdn求266(2).16,39,,naaSda求课堂练习（3）在三位正整数的集合中有多少个数既是3的倍数又是5的倍数？求它们的和.