2014年中考数学压轴题第一部分函数图象中点的存在性问题•1.1因动点产生的相似三角形问题•例12013年上海市中考第24题•如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．•（1）求这条抛物线的表达式；•（2）连结OM，求∠AOM的大小；•（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图1•思路点拨•1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．•2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．•3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．•（1）如图2，过点A作AHy⊥轴，垂足为H．•在RtAOH△中，AO＝2，∠AOH＝30°，•所以AH＝1，OH＝．所以A（-1,）•因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，•设y＝ax(x－2)，代入点A（-1，）可得a=．•所以抛物线的表达式为33333xxxxy332233233图2•（2）由•得抛物线的顶点M的坐标为(1,)．所以•tanBOM∠＝•所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．xxxxy3322332333333考点伸展•在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．图5例22012年苏州市中考第29题图1图2图3考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．例32012年黄冈市中考模拟第25题图1图2图3图4例42010年义乌市中考第24题•如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）•（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；•解：抛物线的对称轴为直线，•解析式为，•顶点为M（1，）．图181•如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．•（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；图1图2图1图2•如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x图3图4例52009年临沂市中考第26题•如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．•（1）求此抛物线的解析式•如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．•（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由图3图4•如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．•（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标图5图61.2因动点产生的等腰三角形问题例例1201312013年上海市虹口区中考模拟第年上海市虹口区中考模拟第2525题题•如图1，在RtABC△中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DEBC⊥交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°•（1）求ED、EC的长；•（2）若BP＝2，求CQ的长；•（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，...
