数学新课标（北师）九年级下册1锐角三角函数教材重难处理教材重难处理新知梳理新知梳理重难互动探究重难互动探究第2课时正弦和余弦探究新知►活动1知识准备第2课时正弦和余弦如图1－1－19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝32，BC＝23，则AC等于(A)A．3B．4C．43D．6图1－1－19新知梳理►知识点一正弦第2课时正弦和余弦在Rt△ABC中，∠A是锐角．∠A的对边与_______的比叫做∠A的正弦，记作_______，即sinA＝____________．斜边sinA∠A的对边斜边第2课时正弦和余弦►知识点二余弦在Rt△ABC中，∠A是锐角．∠A的______与________的比叫做∠A的余弦，记作________，即cosA＝______________．邻边斜边cosA第2课时正弦和余弦►知识点三锐角三角函数锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数(trigonometricfunction)．第2课时正弦和余弦►知识点四梯子的倾斜程度与正弦、余弦的关系梯子的倾斜程度与正弦值和余弦值都有关系：sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡．(其中∠A为梯子与水平面的夹角)重难互动探究探究问题一利用三角函数求线段的长度第2课时正弦和余弦例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，且sinB＝35，试分别求出AC，AB的长．第2课时正弦和余弦探究问题二利用已知三角函数值，求其他三角函数值例2在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝45，求cosB的值．图1－1－21[解析]先根据正弦函数值找出该直角三角形三边的数量关系，再利用余弦函数的定义求解．•独立完成课本例题2及做一做第2课时正弦和余弦备选探究问题三角函数的综合运用例如图1－1－22，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求sin2A＋cos2A的值；(2)比较sinA和cosB的大小；(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两问题相似的结果？若有，请说明理由．图1－1－22第2课时正弦和余弦[解析]我们先解答(1)、(2)两个问题，看它们的结果有何特殊性，再考虑问题(3)．显然，在Rt△ABC中，已知两直角边长求斜边长，可应用勾股定理；再利用两直角边长与斜边长的比分别求出sinA，cosA，cosB的大小，然后计算sin2A＋cos2A的值，比较sinA和cosB的大小．第2课时正弦和余弦解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝AC2＋BC2＝122＋52＝13.∴sinA＝BCAB＝513，cosA＝ACAB＝1213，cosB＝BCAB＝513.(1)∵sin2A＝5132＝25169，cos2A＝12132＝144169，第2课时正弦和余弦∴sin2A＋cos2A＝25169＋144169＝1.(2)sinA＝cosB.(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两问题相似的结果，即对任意直角三角形中的锐角A有sin2A＋cos2A＝1.在Rt△ABC中，若∠C为直角，则必有sinA＝cosB.第2课时正弦和余弦理由如下：设在任意Rt△ABC中，∠C＝90°，sin2A＝BCAB2，cos2A＝ACAB2，∴sin2A＋cos2A＝BCAB2＋ACAB2＝BC2＋AC2AB2＝AB2AB2＝1.∵sinA＝BCAB，cosB＝BCAB，∴sinA＝cosB.第2课时正弦和余弦[归纳总结]锐角三角函数之间具有如下关系：(1)互余关系：sinA＝cos(90°－∠A)，cosA＝sin(90°－∠A)；(2)平方关系：sin2A＋cos2A＝1；(3)相除关系：tanA＝sinAcosA；(4)倒数关系：tanA·tan(90°－∠A)＝1.
