问题6突破点含参的直线与圆的位置关系一、问题的提出解析几何中的含参的直线与圆的位置关系问题,涉及到基本的直线与圆的位置关系问题,主要是相交中的弦长问题,和相切中的切线问题。然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,应用不等式求出参数的范围。二、问题的探源对于圆的最值问题,要利用圆的特殊几何性质,根据式子的几何意义求解,这常常是简化运算的最佳途径.三、问题的佐证例一、已知直线l:y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点.求m的取值范围.【训练】1.在平面直角坐标系xOy中,设直线l:kx-y+1=0与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上,则实数k等于()A.1B.2C.0D.-1【解析】 四边形OAMB为平行四边形,∴四边形OAMB为菱形,∴△OAM为等边三角形,且边长为2,解得弦AB的长为2,又直线过定点N(0,1),且过N的弦的弦长最小值为2,此时此弦平行x轴,即k=0.2.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知圆的半径, 圆上至少有3个不同的点到直线l的距离为,∴直线与圆相交,且圆心到直线l的距离又圆的圆心为整理得:解得:又直线的斜率又∴直线的倾斜角的范围是故选D.例二、已知直线l:y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,求m的取值范围.【解析】 l:y=-x+m,圆x2+y2=1,∴l可变形为:x+3y-3m=0,圆的圆心为(0,0),半径长r=1.当直线和该圆相切时,应满足d==1,解得m=±.在平面直角坐标系中作出图象,如图所示,其中l2:y=-x+,l3:y=-x-.过原点作直线l0:y=-x,m0:y=-x. 直线l的斜率k=-,直线AB的斜率k=-1,∴只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点,此时对应的直线l1:y=-x+1,要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点,直线l只有在直线l1和直线l2之间运动才可,此时相应的m∈.∴m的取值范围是.要注意结合图象,得出正确的答案,不能想当然.要注意直线之间倾斜程度的比较,像在此例题中,我们要注意比较直线l的斜率k=-与直线AB的斜率k=-1,如果注意到它们的关系了,就不易出错.例三、已知直线l:y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有交点,求m的取值范围. 直线l与圆在第一象限内有交点,∴直线l应该在过点B(1,0)的直线与切线l2之间才可以,而当B(1,0)在直线l上时,m=,∴m的范围是.练习:已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值.【解析】由消去y,得5x2+10x+4m-27=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则又OP⊥OQ,∴KOP·KOQ=-1即x1x2+y1y2=0.∴x1·x2+(3-x1)·(3-x2)=0,整理得5x1x2-3(x1+x2)+9=0,∴5×-3×(-2)+9=0.解得m=3满足①∴实数m的值为3.此题设出P,Q两点的坐标,但在求解过程中又不能刻意地求出来,只将它作为一个转化过程中的桥梁,这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见,要注意认真体会并掌握.四、问题的解决一、选择题1.若直线与曲线有两个交点,则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】曲线是以为圆心,为半径的半圆,如图所示直线是过定点的直线。设切线的斜率为,切线的方程为,圆心到直线的距离等于半径,即,解得直线的斜率为,,实数的取值范围是故答案选2.从动点向圆作切线,则切线长的最小值为A.B.C.D.【答案】B3.已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点,且有,那么的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析:设的中点为,则,因为,所以,所以,因为,所以,因为直线与圆交于不同的两点,所以,所以,即,解得,故选C.4.若在圆上,总存在相异两点到原点的距离等于1,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】圆心与原点之间的距离为,当原点在圆外时,则;当原点在圆外时,则;当点在圆上,显然符合,综上3种情况有,解得或,选C.5.设点是函数图象上的任意一点,点,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】在等式两边平方得,即,由于,故函数的图象表示圆的下半圆,如下图所示,设点的坐标...