等比数列及前n项和1．等比数列的定义：)()(＝q（q为不等于零的常数）．2．等比数列的通项公式：⑴an＝a1qn－1⑵an＝amqn－m3．等比数列的前n项和公式：Sn＝)1()1(qq4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝（或b＝）．5．等比数列{an}的几个重要性质：⑴m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．⑵Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．⑶若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝．例1.已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．解：∵{an}是等比数列，∴a1·an＝a2·an－1，∴1286611nnaaaa，解得6421naa或2641naa若a1＝2，an＝64，则2·qn－1＝64∴qn＝32q由Sn＝1261)321(21)1(1qqqqan，解得q＝2，于是n＝6若a1＝64，an＝2，则64·qn－1＝2∴qn＝q321由Sn＝1261)3211(641)1(1qqqqan解得q＝21，n＝6训练1.已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝．解：64或1由20647391aaaa20647373aaaa41673aa或16473aa∴q2＝21或q2＝2，∴a11＝a7q2，∴a11＝64或a11＝1例2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解：设这四个数为a－d，a，a＋d，ada2)(依题意有：1216)(2daaadada解得：44da或69da∴这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．练习1.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6.则a7＝()A．64B．81C．128D．2432．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．163．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A．2B．4C．6D．84．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是1A．[12,16]B．[8，]C．[8，)D．[，]5．若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是()A．公差为2的等差数列B．公差为lg2的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为lg2的等比数列6．设各项都为正数的等比数列{an}中，若第五项与第六项的积为81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值是()A．5B．10C．20D．407．设各项均为实数的等比数列{an}的前n项为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝()A．150B．－200C．150或－200D．400或－508．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝，a2a3＝－，则＋＋＋＝()A.B.C．－D．－9．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.解析：本题考查了等比数列的通项与基本量的求解问题，此题利用等比数列构造另一个数列，利用所构造数列的性质去研究等比数列是高考的热点问题．由已知数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则数列{an}必有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，若公比q为正则该数列的四项必均为正或均为负值，显然不合题意，所以公比q必为负值，又由|q|>1知q<－1，按此要求在集合{－54，－24,18,36,81}中取四个数排成数列可得数列－24,36，－54,81或18，－24,36，－54(此数列不成等比数列，故舍去)，∵数列－24,36，－54,81的公比q＝－，∴6q＝－9.10．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足：b1＝1，当n≥2时，bn＝abn－1，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T5＝________.解析：an＝＝b1＝1，b2＝ab1＝a1＝2，当n≥3时，bn＝abn－1＝2bn－1－1，bn－1＝2(bn－1－1)，bn－1＝2n－2(b2－1)＝2n－2，bn＝2n－2＋1，则bn＝T5＝1＋(20＋1)＋(21＋1)＋(22＋1)＋(23＋1)＝20，故填20.11．已知函数f(x)＝2x＋3，数列{an}满足：a1＝1且an＋1＝f(an)(n∈N*)，则该数列的通项公式为________．解析：f(x)＝2x＋3，数列{an}满足：a1＝1且an＋1＝f(an)(n∈N*)，则an＋1＝2an＋3，an＋1＋3＝2(an＋3)，数列{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，an＋3＝4×2n－1，an＝2n＋1－3，故填an＝2n＋1－3.12．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)．(1)求a1，a2；(2)证明：数列{an}是等比数列；(3)求an及Sn.13．数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且{anan＋1}是以3为公比的等比数列，记bn＝a2n－1＋a2n(n∈N*)．(1)求a3，a4，a5，a6的值；(2)求证：{bn}是等比数列．2
