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新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题四 数列、推理与证明 第3讲 数列的综合问题练习 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

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第3讲数列的综合问题1.(2016·浙江)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=______,S5=______.答案1121解析由解得a1=1,a2=3,当n≥2时,由已知可得:an+1=2Sn+1,①an=2Sn-1+1,②①-②得an+1-an=2an,∴an+1=3an,又a2=3a1,∴{an}是以a1=1为首项,以q=3为公比的等比数列.∴S5==121.2.(2016·四川)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+…+en>.(1)解由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得an+2=qan+1,n≥1.又由S2=qS1+1得a2=qa1,故an+1=qan对所有n≥1都成立.所以数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*).(2)证明由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-=1的离心率en==.由e2==,解得q=.因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>qk-1(k∈N*).于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=.故e1+e2+…+en>.1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合,考查数学建模和数学应用.热点一利用Sn,an的关系式求an1.数列{an}中,an与Sn的关系:an=.2.求数列通项的常用方法(1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式.(2)在已知数列{an}中,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列{an}中,满足=f(n),且f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用累积法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).例1已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n,则Sn=________.答案n·2n解析由Sn=2an-2n,得S1=a1=2a1-2,a1=2,Sn=2(Sn-Sn-1)-2n(n≥2),则Sn=2Sn-1+2n(n≥2),-=1(n≥2),所以是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=+n-1=n,故Sn=n·2n.思维升华给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.跟踪演练1已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,则数列{an}的通项公式是________.答案an=2n解析Sn=,当n=1时,a1=S1=,解得a1=2或a1=0(舍去).当n≥2时,由an=Sn-Sn-1=-⇒a-a=2(an+an-1),因为an>0,所以an+an-1≠0,则an-an-1=2,所以数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,故an=2n.热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题,不等关系或恒成立问题.例2已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S1,S3,S2成等差数列,且a1-a3=3.(1)求{an}的通项公式an;(2)求Sn,并求满足Sn≤2的n的值.解(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a1≠0,故2q2+q=0,又q≠0,从而q=-,由已知可得a1-a1(-)2=3,故a1=4,∴an=4(-)n-1.(2)由(1)得a1=4,q=-,∴Sn==[1-(-)n],由Sn=[1-(-)n]≤2得(-)n≥,当n为奇数时不满足,当n为偶数时,(-)n递减,(-)n≤.∴满足(-)n=的n的值为2,即满足Sn≤2的n的值为2.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点:(1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视;(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件;(3)不等关系证明中进行适当的放缩.跟踪演练2若数列{an}的前n项和为Sn,点(an,Sn)在y=-x的图象上(n∈N*).(1)求数...

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