第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13D．10解析：C[分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面．故选C.]2.(2019·南开区一模)如图所示的几何体是由一个三棱锥P－ABC与三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有()A．6种B．9种C．12种D．36种解析：C[先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，有C×C种情况；然后涂三棱柱的三个侧面，有C×C种情况；共有C×C×C×C＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．故选C.]3．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种解析：C[三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)．故选C.]4．小明有4枚完全相同的硬币，每枚硬币都分正反两面，他想把4枚硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有()A．4种B．5种C．6种D．9种解析：B[记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212,21212121两种；有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种，共有3＋2＝5(种)摆法．故选B.]5．(2019·重庆市模拟)设三位数n＝100a＋10b＋c，若以a，b，c∈{1,2,3,4}为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有()A．12种B．24种C．28种D．36种解析：C[先考虑等边三角形情况，共有a＝b＝c＝1,2,3,4，此时n有4种，再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，即a＝b，当a＝b＝1时，c＜a＋b＝2，则c＝1，与等边三角形情况重复；当a＝b＝2时，c＜4，则c＝1,3(c＝2的情况等边三角形已有)，此时n有2种；当a＝b＝3时，c＜6，则c＝1,2,4，此时n有3种；当a＝b＝4时，c＜8，则c＝1,2,3，有3种；故n有2＋3＋3＝8(种)同理，a＝c时，b＝c时也都有8种∴n共有4＋3×8＝28(种)．故选C.]6．(2019·兰州市模拟)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，分析因电阻断路的可能性共有________种情况．解析：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线，分别记为支线a，b，c，支线a，b中至少有一个电阻断路的情况都有22－1＝3(种)；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7(种)，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7＝63(种)情况．答案：637．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是________．解析：另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x可取1,2,3，…，11，有11个三角形；当y取10时，x可取2,3，…，10，有9个三角形；…；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：368．在8张奖券中有一，二，三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：将8张奖券分4组，再分配给4个人，把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况数A＋CA＝24＋36＝60(种)．答案：609．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个或B，C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)．(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4(种)．10．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2...
