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高考数学复习点拨 对数函数典型例题例析VIP免费

高考数学复习点拨 对数函数典型例题例析_第1页
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对数函数典型例题例析在解决与对数函数有关的问题时,应遵循:一要“定义域优先”的原则,即优先考虑其定义域;二要重视底数、真数应满足的条件,以及不同条件下,性质和图象的差异.只有完全掌握了这些,才能处理好对数函数单调性涉及的综合问题.下面举例说明.例1已知y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是x的减函数,求实数a的取值范围.解法一:由y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是x的减函数,当0<x≤1时,2-a>0,即a<x2恒成立,所以a<(x2)min=2.又知a>0,u=2-ax为减函数,因此对数函数的底a>1.综合得1<a<2.解法二:根据y=loga(2-ax),则a>0且a≠1,2-ax>0,所以x<a2,即函数定义域为(-∞,a2).∵函数在区间[0,1]上是减函数,∴1<a2,即a<2.①又∵u=2-ax为减函数,∴y=logau是增函数,则a>1.②综合①、②得1<a<2.例2求关于x的函数y=lg[x2-(a+2)x+1](其中a为实数),在其定义域内单调区间,并指出其单调性.解:要使函数有意义,必须x2-(a+2)x+1>0.设g(x)=x2-(a+2)x+1,其判别式=(a+2)2-4=a(a+4),⑴当-4<a<0时,<0,恒有g(x)>0,函数y的定义域为R,又y与g(x)单调性一致.所以在(-∞,22a]上,y单调递减;在[22a,+∞)上,y单调递增;⑵当a=-4时,=0,y=lg(x+1)2,其定义域为{x|x≠-1,x∈R},∴在(-∞,-1)上y单调递减;在(-1,+∞)上,y单调递增;⑶当a=0时,=0,y=lg(x-1)2,其定义域为{x|x≠1,x∈R},∴在(-∞,1)上y单调递减;在(1,+∞)上,y单调递增;用心爱心专心⑷当a<-4或a>0时,>0,函数的定义域为:(-∞,2)4(2aaa)∪(2)4(2aaa,+∞).∴在(-∞,2)4(2aaa)上,y单调递减;在(2)4(2aaa,+∞)上,y单调递增.例3已知函数f(x)=lgxx11+21x,x∈(-1,1),问y=f(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B,使AB⊥y轴,若存在,求A、B的坐标,若不存在,说明理由.解:先证明f(x)是单调函数.设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=lg1111xx+211x-lg2211xx-212x=lg)1)(1()1)(1(1221xxxx+)2)(2(2112xxxx,∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1>1-x2>0,1+x2>1+x1>0,∴)1)(1()1)(1(1221xxxx>1,)2)(2(2112xxxx>0,即f(x1)-f(x2)>0,∴函数f(x)是单调递减函数.假设函数f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)使直线AB⊥y轴,则x1≠x2,y1=y2,这与函数是减函数矛盾.∴y=f(x)的图象上不存在两个不同的点A、B,使AB⊥y轴.评析:直线AB⊥y轴或AB∥x轴xA≠xByA≠yB,从函数的单调性上可以找到解题的突破口.用心爱心专心

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