高考数学复习点拨 对数函数典型例题例析VIP免费

对数函数典型例题例析在解决与对数函数有关的问题时，应遵循：一要“定义域优先”的原则，即优先考虑其定义域；二要重视底数、真数应满足的条件，以及不同条件下，性质和图象的差异．只有完全掌握了这些，才能处理好对数函数单调性涉及的综合问题．下面举例说明．例1已知y=loga(2－ax)在区间[0，1]上是x的减函数，求实数a的取值范围．解法一：由y=loga(2－ax)在区间[0，1]上是x的减函数，当0＜x≤1时，2－a＞0，即a＜x2恒成立，所以a＜(x2)min=2．又知a＞0，u=2－ax为减函数，因此对数函数的底a＞1．综合得1＜a＜2．解法二：根据y=loga(2－ax)，则a＞0且a≠1，2－ax＞0，所以x＜a2，即函数定义域为(－∞，a2)．∵函数在区间[0，1]上是减函数，∴1＜a2，即a＜2．①又∵u=2－ax为减函数，∴y=logau是增函数，则a＞1．②综合①、②得1＜a＜2．例2求关于x的函数y=lg[x2－(a+2)x+1](其中a为实数)，在其定义域内单调区间，并指出其单调性．解：要使函数有意义，必须x2－(a+2)x+1＞0．设g(x)=x2－(a+2)x+1，其判别式=(a+2)2－4=a(a+4)，⑴当－4＜a＜0时，＜0，恒有g(x)＞0，函数y的定义域为R，又y与g(x)单调性一致．所以在(－∞，22a]上，y单调递减；在[22a，+∞)上，y单调递增；⑵当a=－4时，=0，y=lg(x+1)2，其定义域为{x|x≠－1，x∈R}，∴在(－∞，－1)上y单调递减；在(－1，+∞)上，y单调递增；⑶当a=0时，=0，y=lg(x－1)2，其定义域为{x|x≠1，x∈R}，∴在(－∞，1)上y单调递减；在(1，+∞)上，y单调递增；用心爱心专心⑷当a＜－4或a＞0时，＞0，函数的定义域为：(－∞，2)4(2aaa)∪(2)4(2aaa，+∞)．∴在(－∞，2)4(2aaa)上，y单调递减；在(2)4(2aaa，+∞)上，y单调递增．例3已知函数f(x)=lgxx11+21x，x∈(－1，1)，问y=f(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使AB⊥y轴，若存在，求A、B的坐标，若不存在，说明理由．解：先证明f(x)是单调函数．设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)=lg1111xx+211x－lg2211xx－212x=lg)1)(1()1)(1(1221xxxx+)2)(2(2112xxxx，∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，1－x1＞1－x2＞0，1+x2＞1+x1＞0，∴)1)(1()1)(1(1221xxxx＞1，)2)(2(2112xxxx＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，∴函数f(x)是单调递减函数．假设函数f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)使直线AB⊥y轴，则x1≠x2，y1=y2，这与函数是减函数矛盾．∴y=f(x)的图象上不存在两个不同的点A、B，使AB⊥y轴．评析：直线AB⊥y轴或AB∥x轴xA≠xByA≠yB，从函数的单调性上可以找到解题的突破口．用心爱心专心