第一讲三角函数的图象与性质一、选择题1．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在上的最小值是()A．1B．C．1＋D．解析：f(x)＝sin2x＋sinxcosx＝－cos2x＋sin2x＝sin＋，因为≤x≤，所以≤2x－≤，所以当2x－＝，即x＝时，函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx取得最小值，且最小值为＋＝1.答案：A2．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x)＝的最小正周期为()A．B．C．πD．2π解析：由已知得ƒ(x)＝＝＝＝sinx·cosx＝sin2x，所以ƒ(x)的最小正周期为T＝＝π.故选C.答案：C3．已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则函数f(x)的单调递增区间为()A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z解析：由f(α)＝－，f(β)＝，|α－β|的最小值为，知＝，即T＝3π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin＋，由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ(k∈Z)，故选B.答案：B4．(2018·郑州质检)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(BD＋BE)·(BE－CE)的值为()A．－1B．－C．D．2解析：(BD＋BE)·(BE－CE)＝(BD＋BE)·BC＝2BC·BC＝2|BC|2，显然|BC|的长度为半个周期，周期T＝＝2，∴|BC|＝1，所求值为2.答案：D5．(2018·成都模拟)设函数f(x)＝sin，若x1x2<0，且f(x1)＋f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值范围为()A.B.C.D.解析：f(x1)＋f(x2)＝0⇔f(x1)＝－f(x2)，|x2－x1|可视为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象如图所示，设A，B分别为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的两个相邻交点，因为x1x2<0，且当直线y＝m过y＝f(x)的图象与y轴的交点时，直线为y＝，|AB|＝，所以当直线y＝m向上移动时，线段AB的长度会增加，当直线y＝m向下移动时，线段AB的长度也会增加，所以|x2－x1|>.答案：B6．已知函数f(x)＝sin(x＋φ)－2cos(x＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝π对称，则cos2φ＝()A．B．－C．D．－解析：由题意可得f(x)＝sin(x＋φ－γ)，其中sinγ＝，cosγ＝.当x＝π时，由π＋φ－γ＝kπ＋，得2φ＝2kπ－π＋2γ，则cos2φ＝cos(2kπ－π＋2γ)＝－cos2γ＝sin2γ－cos2γ＝.故选A.答案：A7．(2018·广西三市联考)已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为()A．－2B．－1C．－D．－解析： x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)． 0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin，∴g(x)＝2sin＝2sin.又 －≤x≤，∴≤2x＋≤，∴－1≤2sin≤2.∴g(x)在上的最小值为－1.答案：B8．(2018·肇庆一模)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝，点P在y＝cosx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足OQ＝m⊗OP＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间上的最大值是()A．2B．2C．2D．4解析：由题意，设点P的坐标为(x0，cosx0)，点Q的坐标为(x，y)，则OQ＝m⊗OP＋n＝⊗(x0，cosx0)＋⇒(x，y)＝⇒即⇒y＝4cos，当x∈时，0≤2x－≤⇒≤cos≤1⇒2≤4cos≤4，所以函数y＝f(x)在区间上的最大值是4.答案：D二、填空题9．若存在实数φ，使得圆面x2＋y2≤4恰好覆盖函数y＝sin图象的最高或最低点共三个，则正数k的取值范围是________．解析：函数y＝sin的图象的最高点或最低点一定在直线y＝±1上，由解得－≤x≤，由题意可得：T＝＝2k，T≤2＜2T，解得正数k的取值范围是.答案：10．(2018·武汉调研)若函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.解析：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函数f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，故函数f(x)的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.令2x＋φ＝mπ，m∈Z，则x＝－，m∈Z，故函数g(x)的图象的对称轴为x＝－...
