高中数学妙用椭圆解证三角问题于志洪李士让对于一些具有一定特征的三角问题，我们可以通过构造椭圆模型来求解或证明，现分类举例说明如下。例1.已知，求证。分析：这是一道三角函数命题，由题中等式的特征可联想到构造一个椭圆方程。证明：设椭圆C：由题设知点在椭圆C上，又也满足椭圆C，可知点N也在椭圆C上，过点N与椭圆C相切的直线方程为即又点M也满足，所以点M也在切线上故点M和点N重合，，所以例2.已知在△ABC中，存在条件，|AB|=8，试求之值。解：有的同学从中很快发现一个熟悉的图形——椭圆。下面的解法，当然与解析几何紧密地联系在一起了。如图1所示，设椭圆的长轴为2a，焦距为2c则（正弦定理）∴（合比定理，椭圆定义）即∴解得用心爱心专心115号编辑图1例3.已知，则的最小值为___________。分析：满足题设的点的轨迹是到定点A（0，0），B（8，6）的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的长半轴a满足，即。线段AB的长为，即c=5，所以椭圆的短半轴长又椭圆长轴所在直线方程为因此，由图2知，使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过即解得椭圆上任意一点P（x，y）均满足得，最小值为。图2总之构造椭圆模型解证三角问题，能使解答或结论反映在图上，直观生动，有利于培养同学们解题的兴趣，可使问题显得直观，易于解决。用心爱心专心115号编辑
