广东省始兴县风度中学高三数学（文）尖子生培优训练资料1、已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝，n∈N*，且a1＝2.(1)求a2，a3的值；(2)设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列；(3)设Sn为{an}的前n项和，证明＋＋…＋＋≤n－(n∈N*)．2、设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝an＋1Sn(n∈N*)．(1)若a1，S2，－2a2成等比数列，求S2和a3；(2)求证：对k≥3有0≤ak＋1≤ak≤.13、已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．4、如图1－10，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．(1)求C1，C2的方程；(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.①证明：MD⊥ME；②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得＝？请说明理由．23培优资料6答案(3)证明：a1＝2，由(2)知，当k∈N*且k≥2时，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k－3)＝2＋3×＝22k－1，故对任意k∈N*，a2k－1＝22k－1.由①得22k－1＋2a2k＝－22k－1＋1，所以a2k＝－22k－1，k∈N*.2、【解答】(1)由题意得S＝－2S2，由S2是等比中项知S2≠0.因此S2＝－2.由S2＋a3＝S3＝a3S2解得a3＝＝＝.(2)证法一：由题设条件有Sn＋an＋1＝an＋1Sn，故Sn≠1，an＋1≠1且an＋1＝，Sn＝，从而对k≥3有4又由Sn＋2＝Sn＋1＋an＋2＝an＋2Sn＋1得an＋2≠1且Sn＋1＝.因此－≥0，即3a－4an＋2≤0，解得0≤an＋2≤.因此0≤ak≤(k≥3)．由ak＝≥0(k≥3)，得ak＋1－ak＝－ak＝ak＝ak＝－＝－≤0，因此ak＋1≤ak(k≥3)．3、【解答】解法一：图1－6(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．从而圆的半径r＝|MP|＝＝2，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，所以直线l′的方程为y＝－x－m.由得x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．解法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)同解法一．4、【解答】(1)由题意知，e＝＝，从而a＝2b.又2＝a，解得a＝2，b＝1.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，y＝x2－1.(2)①由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.由得x2－kx－1＝0.5设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.又点M的坐标为(0，－1)，所以kMA·kMB＝·＝＝＝＝－1.故MA⊥MB，即MD⊥ME.②设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y＝k1x－1，由解得或则点A的坐标为(k1，k－1)．又直线MB的斜率为－，同理可得点B的坐标为.于是S1＝|MA|·|MB|＝·|k1|··＝.由得(1＋4k)x2－8k1x＝0.解得或则点D的坐标为.又直线ME的斜率为－，同理可得点E的坐标为.于是S2＝|MD|·|ME|＝.因此＝.由题意知，＝，解得k＝4，或k＝.又由点A，B的坐标可知，k＝＝k1－，所以k＝±.故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y＝x和y＝－x.6
