课堂达标(五十五)数系的扩充和复数的引入[A基础巩固练]1．(2016·北京卷)复数等于()A．iB．1＋iC．－iD．1－i[解析]＝＝＝i.故选A.[答案]A2．(2018·天津质检)已知i为虚数单位，a∈R，如果复数2i－是实数，则a的值为()A．－4B．2C．－2D．4[解析]∵2i－＝2i－＝2i－－i＝i－，a∈R，∴2－＝0，∴a＝4.[答案]D3．(2018·南昌月考)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z等于()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i[解析]方法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi.∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.方法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.[答案]D4．(2018·福州二检)定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由题意得，2zi－|－i(1＋i)|＝0，则z＝＝－－i，∴＝－＋i，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.[答案]B5．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2017等于()A．1＋iB．1－iC．iD．0[解析]∵z＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2017＝＝＝＝1＋i.[答案]A6．(陕西高考)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.＋B.＋1C.－D.－[解析]由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P＝＝＝－[答案]C7．(2017·江苏)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)其中i是虚数单位，则z的模是______．[解析]|z|＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝×＝，故答案为.[答案]8．已知复数z1＝cos15°＋sin15°i和复数z2＝cos45°＋sin45°i，则z1·z2＝______.[解析]z1·z2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i＝＋i.[答案]＋i9．(2018·河北教学质量检测)已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝______.[解析]－＝－＝－＝，由已知得m＝1－m，则m＝.[答案]10．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．[解]1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.[B能力提升练]1．(2018·新乡、许昌、平顶山调研)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是()A．[－1,1]B.C.D.[解析]由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.[答案]C2．(2018·宁夏银川一中一模)已知复数(1＋i)(a＋bi)＝2＋4i(a，b∈R)，函数f(x)＝2sin＋b图象的一个对称中心是()A.B.C.D.[解析]因为(1＋i)(a＋bi)＝2＋4i，所以a＋bi＝＝＝3＋i，2所以a＝3，b＝1.f(x)＝2sin＋1，令3x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝－＋，k∈Z，令k＝1，得x＝，所以f(x)＝2sin＋1的一个对称中心为.[答案]D3．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为______．[解析]∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.[答案]4．设z1，z2是复数，则下列命题①若|z1－z2|＝0，则1＝2②若z1＝2，则1＝z2③若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2④若|z1|＝|z2|，则z＝z真命题是______．[解析]对于①，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒1＝2，是真命题；对于②，③易判断是真命题；对于④若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．[答案]①②③5．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，∴解得2＜a＜6.∴实数a的取值范围是(2,6)．[C尖子生专练]若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．[解]这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.∵z＋是实数，∴b－＝0.3又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，∴a＋3＋b＝0.②由①②得解得或故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.4
