求解圆锥曲线中“范围问题”的几条有效途径马清芹解析几何中，确定圆锥曲线的某种量的取值范围问题，涉及面广，综合性强，条件双大多比较隐蔽，因而许多学生对求解此类问题感到困难。发现参数之间的不等量关系是解决此类问题的关键。下面谈一谈解决此类问题的几种有效途径。1利用题设中的条件求解例1（2000年全国高考题）如图1，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点。当进，求双曲线离心率e的取值范围。解如图1，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立的直角坐标系xOy，则CD//x轴。因为双曲线经过点C，D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C，D关于y轴对称。依题意，记，其中为双曲线的半焦距，h为梯形的高。由定比分点坐标公式，得设双曲线的议程为。则离心率。由点C，E在双曲线上，将点C，E的坐标和代入双曲线议程分别得（1）（2）由（1）式得（3）将（3）代入（2）式，整理得。故.由题设，解得。即双曲线的离心率的取值范围为。2利用圆锥曲线的定义和性质求解例2A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使,则椭圆离心率的范围是_________.解设椭圆，以OA为直径的圆：。两式联立消y得，即方程。由题设，此方程有一解，一解为a，由韦达定理得。，，解之得。3利用韦达定理和判别式求解例3求使抛物线c：上有不同的两点关于直线l：对称的实数a的取值范围。解设点是抛物线c上关于直线l对称的两点，直线AB的方程为。由消去y得（1）∵，方程（1）有两个不等实数根，∴（2）又设AB的中点为，由（1）得∵点M在l上，∴。可得，代入（2）得。4利用点与曲线的位置关系求解例4同例3。解设点在抛物线c上，且点A和点B关于直线l对称，则有（2）-（1）得，将（3）代入即有（5）将（5）代入（4）得。∴弦AB的中点坐标为。∵弦AB的中点在抛物线c的内部，∴，解之得或a<0（与题设不合，舍去），故。5利用数形结合求解例5（2000年全国高考题）椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是___________。解以O为圆心，的长为半径作圆，与椭圆联立，解得两曲线交点的横坐标分别为。由圆的知识可知点P在椭圆的AB或CD弧线（在辅助圆内）上时，为钝角，故点P横坐标的取值范围是。6利用不等式的性质求解例6（1997年全国高考题）已知圆满足：①截y轴秘得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程。解设圆心为P（a,b），半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|,由题设知圆P截x轴所得的弦长为，故。又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有，从而有。又点P（a,b）到直线的距离为，所以。当且仅当a=b时，d取最小值。又有，解得a=1,b=1，或a=-1,b=-1。由得。∴所求圆的方程为，或。7利用函数的单调性求解例7（1990年全国高考题）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。解设椭圆的方程为，设椭圆上的点（x,y）到点P的距离为d，则若，则当y=-b时，矛盾。若，则当∴b=1,a=2，所求椭圆方程为，所求点为。
