课时分层作业(九)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的序号是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误．]2．设αlβ是直二面角，直线aα，直线bβ，a，b与l都不垂直，那么说法中正确的是()A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行C[当a，b都与l平行时，则a∥b，所以①④错．如图，若a⊥b，过a上一点P在α内作a′⊥l，因为α⊥β，所以a′⊥β.又bβ，∴a′⊥b，∴b⊥α，与题干要求矛盾，即a与b不可能垂直．]3．下列四个命题中错误的是()A．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直B．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行C．如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行D．如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内B[根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故A正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故B不正确；根据平面与平面平行的性质定理知C正确；根据两个平面垂直的性质知D正确．]4．如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°D[连结B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，所以B′C2＝B′D2＋DC2，所以∠B′DC＝90°.]5．四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的对数为()A．5B．4C．3D．2A[因为AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5对．]二、填空题6．如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小为________．90°[ PA⊥平面ABC，BA，CA平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角BPAC的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角BPAC的大小为90°.]7．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝，则平面α与平面β的位置关系是________．垂直[因为PC⊥α，ABα，所以PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD.设AB与平面PCD的交点为H，连结CH，DH.因为AB⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角CABD的平面角．又PC＝PD＝1，CD＝，所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°.在平面四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β.]8．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1BDC的大小为________．30°[如图，取BD中点O，连结OC，OC1. AB＝AD＝2，∴CO⊥BD，CO＝. CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.∴∠C1OC为二面角C1BDC的平面角，∴tan∠C1OC＝＝＝，∴∠C1OC＝30°，即二面角C1BDC的大小为30°.]三、解答题9．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.[证明](1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1...
