课时分层作业(十四)向量的概念及表示(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列各量中是向量的是()A．密度B．电流C．浮力D．面积C[只有浮力既有大小又有方向．]2．若向量a与向量b不相等，则下列关于a与b的说法一定正确的是()A．不共线B．长度不相等C．不都是单位向量D．不都是零向量．D[若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向或长度至少有一个不同，所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也可能都是单位向量，故A，B，C都错误，但a与b一定不都是零向量．]3．若BA＝CD且|AB|＝|AD|，则四边形ABCD的形状为()A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形B[由BA＝CD知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，又因为|AB|＝|AD|，所以四边形ABCD为菱形．]4．下列命题中，正确的是()A．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量B．a，b是两个单位向量，则a与b相等C．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同D．共线的单位向量必是相等向量A[若a与b中有一个是零向量，则a与b共线．]5．给出以下条件，不能使a与b共线的是()A．a＝bB．|a|＝|b|C．a与b的方向相反D．|a|＝0或|b|＝0B[根据相等向量一定是共线向量知A成立；|a|＝|b|但方向可以任意，∴B不成立；a与b反向必平行或重合，∴C成立；由|a|＝0或|b|＝0，得a＝0或b＝0.根据0与任何向量共线，∴D成立．]二、填空题6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m＝________.0[∵AB与BC不共线，且m∥AB，m∥BC，∴m＝0.]7．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．AC，CA，BD，DB，AD，DA[满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：AC，CA，BD，DB；模长为3的向量有：AD，DA.]8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF方向相反的向量为________．CD，BA[∵AB∥EF，CD∥EF，∴与EF方向相反的向量为CD，BA.]三、解答题9．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB；(2)求B地相对于A地的方位．[解](1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．(2)由题意知AD＝BC，∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC，则B地相对于A地的方位是“北偏东60°跑A地6千米”．10．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．(1)写出与AO相等的向量；(2)写出与AO共线的向量；(3)向量AO与CO是否相等？[解](1)与AO相等的向量有：OC，BF，ED.(2)与AO共线的向量有：OA，OC，CO，AC，CA，ED，DE，BF，FB.(3)向量AO与CO不相等，因为AO与CO的方向相反，所以它们不相等．[等级过关练]1．下列说法正确的是()A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行B．终点相同的两个向量不共线C．若|a|＞|b|，则a＞bD．单位向量的长度为1D[A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．]2．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积为()A．4πB．3πC．2πD．πB[图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S圆环＝π(22－12)＝3π.]3．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝________.2[结合菱形的性质可知|BD|＝×2＝2.]4．如图所示，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若AC的模为2，BC的模为3，AD的模为1，则DB的模为________．[如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.所以∠ACD＝∠BCD＝∠AED，所以|AC|＝|AE|.因为AE∥BC，所以△ADE∽△BDC，所以＝＝，故|DB|＝.]5．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB＝DC且CN＝MA，求证：DN＝MB.[证明]因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC.所以四边形ABCD是平行四边形，所以|DA|＝|CB|且DA∥CB，又因为DA与CB的方向相同，所以CB＝DA.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以CM＝NA.因为|CB|＝|DA|，|CM|＝|NA|，所以|MB|＝|DN|.又DN与MB的方向相同，所以DN＝MB.
