课时分层作业(六)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在梯形ABCD中，AB∥CD，ABα，CDα，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面D[由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．]2．若直线l不平行于平面α，且lα，则下列四个命题正确的是()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l相交B[依题意，直线l∩α＝A(如图)，α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．]3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形是()A．①②B．②④C．②③D．①④D[过AB的体对角面与面MNP平行，故①成立；④中易知AB∥NP，故④也成立．]4．P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段条数是()A．1B．2C．3D．4B[由题意知EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．]5．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是(1)A．平行B．相交C．异面D．平行或相关A[∵⇒AB∥CD，同理可证AB∥EF，∴EF∥CD.]二、填空题6．如图，三棱锥ABCD中E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．m∶n[∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC.∴EF＝HG＝·m.同理，EH＝FG＝·n，∴·m＝·n，∴AE∶EB＝m∶n.]7．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M是A1B1的中点，N是AB上的点，且AN∶NB＝1∶2，过D1，M，N的平面交AD于点G，则NG＝__________．a[由题意易知GN∥D1M，由AN∶NB＝1∶2，M为A1B1的中点得AN＝AB＝A1B1＝A1M.∴＝＝，∴GN＝D1M＝＝a.]8．如图，四边形ABCD是矩形，P平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F，则四边形BCFE的形状一定是______．梯形[∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD平面PAD，2∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE为梯形．]三、解答题9．如图，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1.[证明]∵A1B1C1ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．连结B1C交BC1于点E，则B1E＝EC.连结DE，在△AB1C中，∵AD＝DC，B1E＝EC，∴DE∥AB1.又∵AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.[证明]∵AC∥A1C1，而AC平面A1EC1，A1C1平面A1EC1.∴AC∥平面A1EC1.而平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，AC平面AB1C，∴AC∥FG.[等级过关练]1．下列说法中正确的是()A．平行于同一平面的两直线平行B．若直线a平行于平面α内的一条直线b，则直线a∥平面αC．若两平行直线中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交D．若直线a与平面α内的无数条直线相交，则直线a在平面α内C[A中两直线可以平行也可以相交或异面，B中a也有可能在平面α内，D中直线a也可能与平面α相交．]32．如图所示，A是平面BCD外一点，E，F，H分别是BD，DC，AB的中点，设过这三点的平面为α，则在下图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线条数有()A．1B．2C．3D．4B[如图，过F作FG∥AD交AC于G，连接HG，HE，EF，显然平面EFGH就是平面α.在△BCD中，EF∥BC，EFα，BCα，∴BC∥α.同理，AD∥α.所以在所给的6条直线中，与平面α平行的有2条．]3．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____________________．平面ABC，平面ABD[连结AM并延长交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由＝得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.]4．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．[因为直线EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝AC.又因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝.]5．如图，直线l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与平面ABCD所在平面的交线．求证：B1D1∥l.[证明]∵BB1DD1，∴四边形BDD1B1是平行四边形，∴B1D1∥BD.4∵B1D1平面ABCD，BD平面ABCD，∴B1D1∥平面ABCD.∵平面AB1D1∩平面ABCD＝l，B1D1平面AB1D1，∴B1D1∥l.5
