限时检测提速练(十六)直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题A组1．(2018·永州二模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l经过点P(0，－1)，且与椭圆交于A，B两点，若AP＝2PB，求直线l的方程．解：(1)依题意可设椭圆方程为＋＝1， 2c＝4，e＝＝，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1．(2)由题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为：y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(2k2＋1)x2－4kx－6＝0，且A＞0，则x1＋x2＝，x1·x2＝－， AP＝2PB，即(－x1，－1－y1)＝2(x2，y2＋1)，∴x1＝－2x2，∴消去x2并解关于k的方程得：k＝±，∴l的方程为：y＝±x－1．2．(2018·江淮联考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F．(1)若斜率为－1的直线l过点F与抛物线C交于A、B两点，求|AF|＋|BF|的值；(2)过点M(m,0)(m＞0)作直线l与抛物线C交于A、B两点，且FA·FB＜0，求m的取值范围．解：(1)依题意，F(1,0)；设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则直线l：y＝－x＋1；联立则(－x＋1)2＝4x，则x2－6x＋1＝0，则xA＋xB＝6；由抛物线定义可知，|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋2＝8．(2)直线l的方程为x＝ty＋m，l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＝y，x2＝y．将l的方程代入抛物线的方程，化简得y2－4ty－4m＝0，判别式Δ＝16(t2＋m)＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m． FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)，∴FA·FB＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2－(y＋y)＋1＝(y1y2)2＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1．又 FA·FB＜0，∴m2－6m＋1－4t2＜0恒成立，∴m2－6m＋1＜4t2恒成立． 4t2＞0，∴m2－6m＋1＜0只需即可，解得3－2＜m＜3＋2．∴所求m的取值范围为(3－2，3＋2)．3．(2018·三湘教育联盟联考)动点P到定点F(0,1)的距离比它到直线y＝－2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M．(1)求曲线C的方程；(2)求证：AB·MF＝0．(1)解：由已知，动点P在直线y＝－2上方，条件可转化为动点P到定点F(0,1)的距离等于它到直线y＝－1距离．∴动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线故其方程为x2＝4y．(2)证明：设直线AB的方程为：y＝kx＋1，由得：x2－4kx－4＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝4k，xAxB＝－4，由x2＝4y得：y＝x2，∴y′＝x，∴直线AM的方程为：y－x＝xA(x－xA)①直线BM的方程为：y－x＝xB(x－xB)②①－②得：(x－x)＝(x－x＋xAx－xBx)，即x＝＝2k，将x＝代入①得：y－x＝xA＝xAxB－x，∴y＝xAxB＝－1，故M(2k，－1)，∴MF＝(－2k,2)，AB＝(xB－xA，k(xB－xA))，∴AB·MF＝－2k(xB－xA)＋2k(xB－xA)＝0．4．(2018·云南联考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在椭圆E上，且△ABC面积的最大值为2．(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN．(1)解：由题意得解得故椭圆E的方程为＋＝1．(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，由(1)可得F(－1,0)，则直线DF的斜率为kDF＝＝－，当n＝0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN．当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝＝． 点M，N在椭圆E上，∴整理得：＋＝0，又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，∴＝－，直线OP的斜率为kOP＝－， 直线OD的斜率为kOD＝－，∴直线OD平分线段MN．B组1．(2018·成都一检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2．(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．解：(1)由题可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1．∴椭圆C的方程为＋y2＝1．(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立，得消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0．Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝，y1y2＝． 点B在以MN为直...
