限时检测提速练(十六)直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题A组1.(2018·永州二模)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为4,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l经过点P(0,-1),且与椭圆交于A,B两点,若AP=2PB,求直线l的方程.解:(1)依题意可设椭圆方程为+=1, 2c=4,e==,∴a=2,∴b2=a2-c2=4,∴椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可知直线l的斜率存在,设l的方程为:y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得(2k2+1)x2-4kx-6=0,且A>0,则x1+x2=,x1·x2=-, AP=2PB,即(-x1,-1-y1)=2(x2,y2+1),∴x1=-2x2,∴消去x2并解关于k的方程得:k=±,∴l的方程为:y=±x-1.2.(2018·江淮联考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F.(1)若斜率为-1的直线l过点F与抛物线C交于A、B两点,求|AF|+|BF|的值;(2)过点M(m,0)(m>0)作直线l与抛物线C交于A、B两点,且FA·FB<0,求m的取值范围.解:(1)依题意,F(1,0);设A(xA,yA),B(xB,yB),则直线l:y=-x+1;联立则(-x+1)2=4x,则x2-6x+1=0,则xA+xB=6;由抛物线定义可知,|AF|+|BF|=xA+xB+2=8.(2)直线l的方程为x=ty+m,l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1=y,x2=y.将l的方程代入抛物线的方程,化简得y2-4ty-4m=0,判别式Δ=16(t2+m)>0,y1+y2=4t,y1y2=-4m. FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),∴FA·FB=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=(y1y2)2+y1y2-(y+y)+1=(y1y2)2+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1.又 FA·FB<0,∴m2-6m+1-4t2<0恒成立,∴m2-6m+1<4t2恒成立. 4t2>0,∴m2-6m+1<0只需即可,解得3-2<m<3+2.∴所求m的取值范围为(3-2,3+2).3.(2018·三湘教育联盟联考)动点P到定点F(0,1)的距离比它到直线y=-2的距离小1,设动点P的轨迹为曲线C,过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点,过点A、B分别作曲线C的切线,且二者相交于点M.(1)求曲线C的方程;(2)求证:AB·MF=0.(1)解:由已知,动点P在直线y=-2上方,条件可转化为动点P到定点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1距离.∴动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线故其方程为x2=4y.(2)证明:设直线AB的方程为:y=kx+1,由得:x2-4kx-4=0,设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=4k,xAxB=-4,由x2=4y得:y=x2,∴y′=x,∴直线AM的方程为:y-x=xA(x-xA)①直线BM的方程为:y-x=xB(x-xB)②①-②得:(x-x)=(x-x+xAx-xBx),即x==2k,将x=代入①得:y-x=xA=xAxB-x,∴y=xAxB=-1,故M(2k,-1),∴MF=(-2k,2),AB=(xB-xA,k(xB-xA)),∴AB·MF=-2k(xB-xA)+2k(xB-xA)=0.4.(2018·云南联考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,点A,B分别为椭圆E的左、右顶点,点C在椭圆E上,且△ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程;(2)设F为E的左焦点,点D在直线x=-4上,过F作DF的垂线交椭圆E于M,N两点.证明:直线OD平分线段MN.(1)解:由题意得解得故椭圆E的方程为+=1.(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),D(-4,n),线段MN的中点P(x0,y0),则2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,由(1)可得F(-1,0),则直线DF的斜率为kDF==-,当n=0时,直线MN的斜率不存在,根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n≠0时,直线MN的斜率kMN==. 点M,N在椭圆E上,∴整理得:+=0,又2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,∴=-,直线OP的斜率为kOP=-, 直线OD的斜率为kOD=-,∴直线OD平分线段MN.B组1.(2018·成都一检)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(,0),长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上,求直线l的方程.解:(1)由题可知c=,=2,a2=b2+c2,∴a=2,b=1.∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时,不合题意.当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2).联立,得消去x可得(4+m2)y2+2my-3=0.Δ=16m2+48>0,y1+y2=,y1y2=. 点B在以MN为直...