圆锥曲线031.（本小题满分12分）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值。【答案】（1）设，则， ，∴．即，即，所以动点的轨迹的方程．（2）解：设圆的圆心坐标为，则．①圆的半径为．圆的方程为．令，则，整理得，．②由①、②解得，．不妨设，，∴，．∴，③当时，由③得，．当且仅当时，等号成立．当时，由③得，．故当时，的最大值为．2.（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为4，设右焦点为，离心率为．（1）若，求椭圆的方程；（2）设、为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上．①证明点在定圆上；②设直线的斜率为，若，求的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由，c=2，得，b=2,所求椭圆方程为.…………………………………………（4分）（Ⅱ）设，则，故，.①由题意，得.化简，得，所以点在以原点为圆心，2为半径的圆上.……………（8分）②设，则.将，，代入上式整理，得因为，k2>0，所以，所以．化简，得解之，得，故离心率的取值范围是.…………………（12分）3.（本小题满分13分）已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点.求点到直线的距离的最小值．【答案】解：（I）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为，则所以椭圆的方程为……5分（II）当直线斜率存在时，设直线方程为，则由消去得，，…………………6分，①…………7分设点的坐标分别为，则：，…………8分由于点在椭圆上，所以.………9分从而，化简得，经检验满足①式.………10分又点到直线的距离为：………11分当且仅当时等号成立………12分当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点的坐标为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1.所以点到直线的距离最小值为.………13分4.（本小题满分14分）已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方，由解得,所以.因为△的面积为，解得.所以椭圆的方程为.…………………………………………………4分（Ⅱ）由得，显然.…………………5分设,则，………………………………………………6分,.又直线的方程为，由解得，同理得.所以,……………………9分又因为.…………………………13分所以,所以以为直径的圆过点.…………………………………14分5.本小题共13分）在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.【答案】解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为的椭圆．……………………………………………………………………………3分故曲线的方程为．…………………………………………………5分（Ⅱ）存在△面积的最大值.…………………………………………………6分因为直线过点，可设直线的方程为或（舍）．则整理得．…………………………………7分由．设．解得，．则．因为．………………………10分设，，．则在区间上为增函数．所以．所以，当且仅当时取等号，即．所以的最大值为．………………………………………………………………13分6.（本小题满分13分）椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点。的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且。若直线的斜率之和为0，求证：为定值.【答案】解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以，解得，．故椭圆的方程为．（方法2、待定系数法）………………………4分（2）设，，由：，，两式相减，得到所以，即，…………………9分同理，所以，又因为直线...
