圆锥曲线031
（本小题满分12分）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值
【答案】（1）设，则， ，∴．即，即，所以动点的轨迹的方程．（2）解：设圆的圆心坐标为，则．①圆的半径为．圆的方程为．令，则，整理得，．②由①、②解得，．不妨设，，∴，．∴，③当时，由③得，．当且仅当时，等号成立．当时，由③得，．故当时，的最大值为．2
（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为4，设右焦点为，离心率为．（1）若，求椭圆的方程；（2）设、为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上．①证明点在定圆上；②设直线的斜率为，若，求的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由，c=2，得，b=2,所求椭圆方程为
…………………………………………（4分）（Ⅱ）设，则，故，
①由题意，得
化简，得，所以点在以原点为圆心，2为半径的圆上
……………（8分）②设，则
将，，代入上式整理，得因为，k2>0，所以，所以．化简，得解之，得，故离心率的取值范围是
…………………（12分）3
（本小题满分13分）已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点
求点到直线的距离的最小值．【答案】解：（I）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为，则所以椭圆的方程为……5分（II）当直线斜率存在时，设直线方程为，则由消去得，，…………………6分，①…………7分设点的坐标分别为，则：，…………8分由于点在椭圆上，所以
………9分从而，化简得，经检验满足①式
………10分又点到直线的距离为：………11分当且仅当时等号成立………12分当直线无斜率时，由对
