《1.3.2圆的内接四边形的性质与判定》导学案学习目标1.了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；2.掌握圆内接四边形判定定理及其推论；熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理进行计算和证明．学习重难点圆内接四边形的性质与判定定理.自主学习一、基础知识回顾1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条、两条、两个中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对.(1)半圆(或直径)所对的圆周角是；90º的圆周角所对的弦是.(2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角；相等的圆周角所对的弧也.二、知识延伸拓展如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.例如，图1中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆.圆内接四边形有以下性质：性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角.已知：如图2，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE是四边形ABCD的外角.求证：(1)∠A+∠BCD=180º，∠B+∠D=180º；(2)∠DCE=∠A.证明：(1)反过来，如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上吗？已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°求证：A，B，C，D在同一圆周上.分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨设A、B、C三点确定⊙O，则点D与OABCD图1OABCDE图2⊙O的位置关系有三种：在圆外、在圆上、在圆内，如果能排除点D在圆外和在圆内，则点D必在圆上.证明：(1)如果点D在⊙O外部(如图3).则∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180°得∠D=∠AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾.故点D不可能在圆外.(2)如果点D在⊙O内部(如图4).则∠B+∠E=180°∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC同样矛盾.∴点D不可能在⊙O内.综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆.判定定理如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上(简称四点共圆).三、精典例题点拨例1如图，圆⊙O和⊙O1相交于A，B两点，经过点A，B的直线EF，MN与两圆分别相交于E，F；M，N.求证：EF//FN.例2如图，四边形ABCD内接于⊙O，过A作⊙O的切线交CB的延长线于P，已知∠EAD=∠PCA.求证：DA2=CD×BP.例3如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且造公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.已知：如图，∠C，∠D在AB同侧，∠C=∠D.求证：△ABC和△ABD有公共的外接圆.图3EOCDAB图4EODABC想一想1.圆内接平行四边形一定是形；2.圆内接梯形一定是形；3.圆内接菱形一定是形.四、练习1.在圆内接四边形ABCD中，已知∠A=50º，∠D-∠B=40º，则∠B=º，∠C=º，∠D=º.2.如图8，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100º，则∠BAD=º，∠BCD=º.3.如图9，以等腰△ABC的底边BC为直径的⊙O分别交两腰AB，AC与点E，D，连结DE.求证：DE//BC.4.任意画一个矩形，再画出它的外接圆.图8OABDC图9DEOABC
