几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1.（2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A．B．C．5D．【答案】A。【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时， AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。DE=，∴OD的最大值为：。故选A。例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是▲。【答案】4。【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。 ∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。在△AME与△AMN中， BE=BN，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。又 CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。 BC=，∠ABC=45°，∴CE的最小值为sin450=4。∴CM+MN的最小值是4。例4.（2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是▲．【答案】1＜AD＜4。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE。 BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。∴CE=AB。在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即2＜2AD＜8。∴1＜AD＜4。二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1.（2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是▲．【答案】。【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x，又 BC＝6，∴在Rt△ABP′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得。∴，即，解得。∴，即BP的最小值是。例11.（2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。（2）① ∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。∴。 ∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。∴AD：AC=AE：AD，∴。当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=BC=1。∴AE的最小值为。∴CE的最大值=。②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。∴点D与B重合，不合题意舍去。当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。∴BD=1。当DA=DE时，如图2， △ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。∴DC=CA=。∴BD=BC－DC=2－。综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。【分析】（1）由∠B=...
