福建师范大学试卷纸共4页,第1页福建师范大学(公共课)数计学院2009—2010学年第2学期考试A卷考生信息栏______学院______系______专业______年级姓名______学号___装订线专业:全校各专业年级:2009级课程名称:线性代数任课教师:试卷类别:开卷()闭卷(√)考试用时:120分钟考试时间:2010年6月23日上午09点00分题号一二三1三2三3三4四总分得分特别注意:所有题目的答案都要写在答题纸上,否则一律无效.一、单项选择题(每题3分,共30分)1.设A为4阶矩阵且2A,则A的伴随矩阵*A的行列式为(C)(A)2;(B)4;(C)8;(D)162.设,AB均为n阶矩阵,则下列各式正确的是(D)222()()2AABAABB;()BABACAOBC当且时有;()CABAB;()DABBA3.设111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa,113112321333143421222324313233342222aaaaaaaaaaaaaaBaa,若PAB,则P(C)福建师范大学试卷纸共4页,第2页()A1020010000100001()B100010201()C102010001()D1000100124.设(1,3,2),(1,2,0)TT是3阶非齐次线性方程组AXb的解,()2rA,则这个3元非齐次线性方程组AXb的一般解是(D)(A)(1,3,2)(1,2,0)TTk,k为任意常数(B)(1,2,0)(1,3,2)TTk,k为任意常数(C)(0,1,2)(1,2,0)TTk,k为任意常数(D)(1,2,0)(0,1,2)TTk,k为任意常数5.在线性方程组AXb中,A是65矩阵,若系数矩阵A与增广矩阵(,)Ab的秩都为4,则AXb(B)(A)有唯一解;(B)有无穷多解;(C)无解;(D)无法确定是否有解6.设123,,为0AX的基础解系,则下列向量组不是0AX的基础解系的为(C)122331(),,A;112123(),,B;122331(),,C;112123(),,D7.下列矩阵不可以对角化的是(C)(A)202020202;(B)220220002;(C)202020002;(D)2220320048.已知2是可逆矩阵A的一个特征值,则1312BIA有一个特征值为(B)A14;B54;C5;D459.下列矩阵中,正定的是(C)()A120101()B122222221()C311131113()D251521112福建师范大学试卷纸共4页,第3页10.设A是3阶矩阵,123,,是3维非零列向量,如果(1,2,3)iiAii,则下列结论正确的是_______C_______.()A若123,2,3P,则1111PAP;()B若1123,,3P,则1123PAP;()C若1232,,5P,则1123PAP;()D若321,,P,则1123PAP。二、填空题(每题3分,共15分)1.设齐次线性方程组123123123020230xxxxxaxxxx有非零解,则____a.2.已知矩阵200003040A,则1A3.设11是矩阵12132123313245aaAaaaax的一个二重特征值,行列式A3,则x=.4.已知111(,0,)22,2111(,,)333,3121(,,)666是欧氏空间3?的一组标准正交基,则向量(1,1,1)在这组基下的坐标为..福建师范大学试卷纸共4页,第4页5.若实二次型32212221321442),,(xxxxtxxxxxf经正交变换yxp化为标准型23222132121),,(yyyyyyg,则t=_________.三、计算题(共48分)1.(10分)求向量组1234[1,1,1,3],[1,3,5,1],[3,2,1,4],[2,6,10,2]TTTT的一个极大线性无关组与秩,并将向量组中的其余向量用该极大线性无关组线性表出.2.(12分)求下列线性方程组的一般解(用导出组的基础解系表示):12341234123421422221xxxxxxxxxxxx3.(11分)已知123(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)TTT和12(1,0,1),(0,1,1),TT3(1,2,0)T是3R的两个基,(1)求基123{,,}到基123{,,}的过渡矩阵;(2)已知在基123{,,}下的坐标为(1,2,1)T,求在基123{,,}下的坐标。4.(15分)设122212221A,(1)、求出A的所有特征值和特征向量;(2)、求正交矩阵T及对角矩阵,使得1TAT.四、证明题(7分)设A是实对称矩阵,m为一个给定的正整数,证明:0A当且仅当0mA.