二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材《坐标几何》（Loney著）中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍（椭圆——+=二1（a>0,b>0）上任一点A的坐标可a2b2以表示为（acos0,bsin0）（0eR），角0就叫做点A的离心角），证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典（平面解析几何）》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学例点评》时，才证明了此条件的充分性.［1,2］2016年高考卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考卷理科第21题（也即文科第22题）及2002年高考、卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题（见文献［3,4］）.笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件（其证明也很简洁但有技巧）：若两条直线li:y-y0二k（x-x0）（1=1,2）与二次曲线i0i0厂：ax2+by2+cx+dy+e=0（a丰b）有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k+k=012文献［2］还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献［5］用较长的篇幅得出了下面的两个结论（即原文末的命题7、8）：结论1抛物线y2=2px的接四边形同时接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论2圆锥曲线mx2+ny2=1（mn丰0,m丰n）的接四边形同时接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献［5］中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理1若两条二次曲线ax2+by2+cx+dy+e=0（a丰b）,a'x2+b'y2+cx+dy+e=0有四个交点，J则这四个交点共圆.证明过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式（九，卩不同时为0）:九（ax2+by2+cx+dy+e）+p（a'x2+b'y2+c'x+d'y+e'）=0①式①左边的展开式中不含xy的项，选p=1时，再令式①左边的展开式中含x2,y2项0的系数相等，得九=，此时曲线①x2+y2+c'x+dy+e'=0的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆■这就证得了四个交点共圆.定理2若两条直线1:ax+by+C二0(1=1,2)与二次曲线iiii厂：ax2+by2+cx+迥+e=0(a丰b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是ab+ab=01221证明由1],12组成的曲线即(ax+by+c)(ax+by+c)=0111222所以经过它与r的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(九,卩不同时为0):九(ax2+by2+cx+dy+e)+卩(ax+by+c)(ax+by+c)=0③111222必要性•若四个交点共圆，则I」存在九,卩使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy项的系数卩(ab+ab)=0■而卩北0(否则③表示曲线r,不表示圆)，所以ab+ab=0.12211221充分性■当a]b2+ab=0时，式③左边的展开式中不含xy的项，选卩=1时，再令式③aa一bb左边的展开式中含x2,y2项的系数相寺，即入。+aa="+bb，得■1212b一a此时曲线③即x2+y2+c'x+dy+e'=0④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹■而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆■这就证得了四个交点共圆.推论1若两条直线与二次曲线r:ax2+by2+cx+dy+e=0(a丰b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明设两条直线为1:ax+by+c=0(i=1,2)，由定理2得，四个交点共圆的充要iiii条件是a1b2+a2b1=0⑴当1/〃即ab=ab时，得四个交点共圆的充要条件即ab=ab=0也即1212211221a=a12⑵当l与l不平行即ab丰ab时,121221由ab+ab=0得ab丰0,ab丰012211221所以四个交点共圆的充要条件即=0也即直线l］，l2的斜率均存在且均不为0且互为=-(人+打(Jy2)相反数.由此可得欲证成立.高考题1（2016年高考卷文科第20题）已知椭圆E:乂+二=l（a>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P］J3,2］在椭圆E上.⑴求椭圆E的方程；l（2）设不过原点O且斜率为的直线4与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆...
