中考数学函数与等腰三角形经典题型分析VIP免费

中考数学函数与等腰三角形经典题型分析例1如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”，拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．思路点拨1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备．2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．满分解答（1）因为PC//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．（2）在△APD中，，，．①当AP＝AD时，．解得（如图3）．②当PA＝PD时，．解得（如图4）或（不合题意，舍去）．③当DA＝DP时，．解得（如图5）或（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．图3图4图5（3）点H所经过的路径长为．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以．因此，．②如图4，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此．解得．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．图6图7例2如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图像中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组得所以点A的坐标是(3，4)．令，得．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2图3图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．在△APQ中，为定值，，．如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的...