第2讲用导数研究函数的单调性与极值分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．解析由题意，得y′＝3x2＋2x＋m≥0解集为R，所以Δ＝4－12m≤0，解得m≥.答案2．(·广东卷)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.由f′(x)＞0得x＜0或x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2，所以f(x)在x＝2处取得极小值．答案23．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意知f′(x)＝0有两个不等的实根，由Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.答案(∞－，－1)∪(2∞，＋)4．(·镇江统考)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2＋2)＜f(3x)，则实数x的取值范围是________．解析由f(x)＝lnx＋2x，得f′(x)＝＋2xln2＞0，x∈(0∞，＋)，所以f(x)在(0，∞＋)上单调递增，又f(x2＋2)＜f(3x)，得0＜x2＋2＜3x，所以x∈(1,2)．答案(1,2)5．已知函数f(x)＝－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在实数集R上是增函数，则实数m的取值范围是________．解析f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，依题意，知f′(x)≥0在R上恒成立，所以Δ＝4(m2－6m＋8)≤0得2≤m≤4.答案[2,4]6．(·苏北四市第一次调研)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若函数f(x)在区间[－1,0]上是单调递减函数，则a2＋b2的最小值为________．解析由题意，f′(x)＝3x2＋2ax＋b≤0对x∈[－1,0]恒成立，所以画出点(a，b)对应的平面区域，由原点到直线2a－b－3＝0距离d＝，得a2＋b2≥d2＝.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7．(·苏北模拟)设函数f(x)＝ex－1＋(m∈R)．(1)若f(x)在[1,2]上为单调递减函数，求实数m的取值范围；(2)若f(x)在x＝1处有极值，且函数g(x)＝f(x)－n在(0∞，＋)上有零点，求n的最小值．解(1)由f′(x)＝ex－1≤－0在x∈[1,2]上恒成立，得m≥x2ex－1在[1,2]上恒成立．设h(x)＝x2ex－1，则由h′(x)＝ex－1(x2＋2x)>0在x∈[1,2]上恒成立，得h(x)在[1,2]上单调递增，所以h(x)max＝h(2)＝4e，所以m≥4e.故m的取值范围是[4e∞，＋)．(2)因为f′(x)＝ex－1－，且f(x)在x＝1处有极值，所以f′(1)＝0，解得m＝1.所以f(x)＝ex－1＋，g(x)＝f(x)－n＝ex－1＋－n.因为g′(x)＝ex－1－当x∈(0,1)时，有g′(x)<0，当x∈(1∞，＋)时，有g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)上递减，在(1∞，＋)上递增，所以g(x)在x＝1处取得极小值g(1)＝2－n.由题意，g(x)在(0∞，＋)上有零点，所以g(1)≤0，即2－n≤0，所以n≥2.故n的最小值为2.8．已知曲线f(x)＝ln(2－x)＋ax在点(0，f(0))处的切线斜率为，(1)求f(x)的极值；(2)设g(x)＝f(x)＋kx，若g(x)在(∞－，1]上是增函数，求实数k的取值范围．解(1)f(x)的定义域是(∞－，2)，f′(x)＝＋a.由题知f′(0)＝－＋a＝，所以a＝1，所以f′(x)＝＋1＝.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示x(∞－，1)1(1,2)f′(x)＋0－f(x)1所以f(x)在x＝1处取得极大值1，无极小值．(2)g(x)＝ln(2－x)＋(k＋1)x，g′(x)＝＋(k＋1)，由题知g′(x)≥0在(∞－，1]上恒成立，即k≥－1在(∞－，1]上恒成立，因为x≤1，所以2－x≥1，所以0≤＜1，所以－1＜－1≤0，所以k≥0.故实数k的取值范围是[0∞，＋)．分层训练B级创新能力提升1．(·济南模拟)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，导函数为f′(x)＝x2＋2cosx且f(0)＝0，则满足f(1＋x)＋f(x2－x)＞0的实数x的集合是________．解析因为当x∈(－2,2)时，f′(x)≥0且为偶函数，所以f(x)是奇函数且在(－2,2)上单调递增，于是由f(1＋x)＞－f(x2－x)＝f(x－x2)，得－2＜x－x2＜1＋x＜2，解得－1＜x＜1.答案(－1,1)2．(·福建卷改编)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．解析由题意，x＝1是f′(x)＝12x2－2ax－2b的一个零点，所以12－2a－2b＝0，即a＋b＝6(a＞0，b＞0)，因此ab≤2＝2＝9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．答案93.已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x...
