——专题：导数的应用含参问题已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1．讨论函数f(x)的单调性．已知a>0，函数f(x)＝＋lnx－1(其中e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值；(2)设g(x)＝x2－2bx＋4，当a＝1时，若对任意x1∈(0，e)，存在x2∈[1,3]，使得f(x1)>g(x2)，求实数b的取值范围．已知函数f(x)＝(x－k)2xke．(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0∞，＋)，都有f(x)≤，求k的取值范围．已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3．(1)求函数y＝f(x)的最小值；(2)对一切x∈(0∞，＋)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．设f(x)＝，其中a为正实数．(1)当a＝时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．课后练习详解答案：见详解．详解:f(x)的定义域为(0∞，＋)．f′(x)＝＋2ax＝．当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0∞，＋)上单调递增；当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0∞，＋)上单调递减；当－1
0；当x∈时，f′(x)<0．故f(x)在上单调递增，在上单调递减．答案：(1)；(2){b|b>2}．详解:(1)令f′(x)＝－＝0，得x＝a．当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]是减函数，f(x)min＝；当02}．答案：见详解．详解:(1)f′(x)＝(x2－k2)xke>0，当k>0时，f(x)的增区间为(∞－，－k)和(k∞，＋)，f(x)的减区间为(－k，k)，当k<0时，f(x)的增区间为(k，－k)，f(x)的减区间为(∞－，k)和(－k∞，＋)．(2)当k>0时，f(k＋1)＝1kke>，所以不会有任意x∈(0∞，＋)，f(x)≤．当k<0时，由(1)得f(x)在(0∞，＋)上的最大值是f(－k)＝，所以任意x∈(0∞，＋)，f(x)≤等价于f(－k)≤＝⇒≤－k<0．综上，k的范围为[－，0）．答案：(1)－；(2)a≤4．详解：(1)f′(x)＝lnx＋1，由f′(x)＝0得x＝．当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)最小值为f＝－．(2)由2f(x)≥g(x)，得2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋．设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝，当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1∞，＋)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4．因为对一切x∈(0∞，＋)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4．答案：(1)x1＝是极小值点，x2＝是极大值点；(2)0＜a≤1．详解：对f(x)求导得f′(x)＝ex．①(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝．综合①，可知xf′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．
