高二数学双曲线的定义、标准方程及几何性质人教实验版（B）【同步教育信息】一、本周主要内容双曲线的定义、标准方程及几何性质二、本周学习目标掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲线的几何性质，了解双曲线的初步应用。了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。三、考点分析（一）双曲线的定义1、第一定义：双曲线的定义：平面内与两定点F1，F2距离的差的绝对值等于定长2a（小于|FF|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF|－|PF||＝2a（2a＜|FF|＝。此定义中，“绝对值”与2a＜|FF|，不可忽视。若2a＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若2a﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。2、第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e（e＞1）的动点的轨迹叫双曲线。定点F叫双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。e叫双曲线的离心率。双曲线有两个焦点，两条准线。该定义中的焦点和准线具有“对应性”，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。（二）双曲线的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图形顶点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为焦点焦距离心率（离心率越大，开口越大）用心爱心专心xOF1F2PyA2A1xOF1PB2B1F2y准线渐近线通径（为焦准距）焦半径在左支在右支在下支在上支焦准距2、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较x，y系数的大小，而双曲线是看x，y的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”3、双曲线的参数方程：中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的参数方程为：（为参数）：4、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。＝1与＝1互为共轭双曲线，其性质如下：（1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线＝0。（2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距。（3）与＝1具有相同渐近线的双曲线系方程为＝k（k≠0）5、如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.6、等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率。7、与椭圆类似，对于双曲线的焦点三角形有：（1）（2）8、弦长公式：（1）过焦点的弦长：|AB|＝|e（x＋x）|，（2）一般的弦长公式：类似于椭圆，x，x分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在的直线方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程整理得Ax＋Bx＋C＝0，则＝，若y，y分别为弦PQ的纵坐标，则＝，9、双曲线：＝1按＝（x，y）平移得（它的中心、对称用心爱心专心轴、焦点、准线方程都按＝（x，y）作了相应的平移。）10、过双曲线＝1上一点P（x，y）的切线方程是（与椭圆类似）11、斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点P（x，y），Q（x，y），中点M（x，y），把P，Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得＝0（当|k|＞时，P，Q各在一支上，此时M的轨迹为两条不含端点的射线，当|k|＜时，P，Q在同一支上，此时M的轨迹为过原点的直线＝。12、以P（x，y）为中点的弦AB的端点为A（x，y），B（x，y），其所在直线的斜率k＝，直线AB的方程为：y－y＝（x－x）.AB的中垂线方程为y－y＝－（x－x）【典型例题】例1.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：（3）双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（4）与双曲线x2－2y2＝2有共同的渐近线，且经过点（2，－2）（5）过点P（2，－1），渐近线方程是y＝±3x．解：（1）设双曲线方程为mx2＋ny2＝1，①于是，设所求双曲线方程为①或②说明：本例解法是待定系数法：（1）中设法叫“统设”，由此可知，统设方程mx2＋ny2＝1可以代表椭圆、双曲线这两种标准方程；（2）中设法叫“分设”，因由离心率的条件不能区分实轴在x轴上还是在y轴上，故分别设出两种方程．（3）设双曲线方程为由已知得用心爱心专心故双曲线C的方程为（4）设所求双曲线方程为x2－2y2＝k，又由过点（2，－2），代入，得k＝22－2...
